استخراج ریشه: روش ها، روش ها، راه حل ها. ماشین حساب مهندسی ریشه مربع به عنوان یک توان منفی

دوباره به تابلو نگاه کردم... و بیا بریم!

بیایید با یک چیز ساده شروع کنیم:

فقط یک دقیقه این یعنی ما می توانیم آن را به این صورت بنویسیم:

فهمیدم؟ این مورد بعدی برای شما است:

آیا ریشه اعداد به دست آمده دقیقاً استخراج نشده اند؟ مشکلی نیست - در اینجا چند نمونه وجود دارد:

اگر دو ضریب وجود نداشته باشد، بلکه بیشتر باشد چه؟ همان! فرمول ضرب ریشه با هر تعدادی از عوامل کار می کند:

حالا کاملا به تنهایی:

پاسخ ها:آفرین! موافقم، همه چیز بسیار آسان است، نکته اصلی این است که جدول ضرب را بدانید!

تقسیم ریشه

ما ضرب ریشه ها را مرتب کردیم، حالا بیایید به ویژگی تقسیم برویم.

به شما یادآوری می کنم که فرمول کلی به این صورت است:

که به این معنی است ریشه ضریب برابر با ضریب ریشه است.

خوب، بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

این همه علم است. در اینجا یک مثال است:

همه چیز مانند مثال اول صاف نیست، اما، همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد.

اگر با این عبارت مواجه شدید چه می شود:

شما فقط باید فرمول را در جهت مخالف اعمال کنید:

و این یک مثال است:

ممکن است به این عبارت نیز برخورد کنید:

همه چیز یکسان است، فقط در اینجا باید نحوه ترجمه کسرها را به خاطر بسپارید (اگر یادتان نیست، به موضوع نگاه کنید و برگردید!). یادت میاد؟ حالا بیایید تصمیم بگیریم!

من مطمئن هستم که شما با همه چیز کنار آمدید، اکنون بیایید سعی کنیم ریشه ها را به درجه ارتقا دهیم.

توانمندی

چه اتفاقی می افتد اگر جذر جذر آن مربع باشد؟ ساده است، معنی جذر یک عدد را به خاطر بسپارید - این عددی است که ریشه دوم آن برابر است.

بنابراین، اگر عددی را که جذر آن مساوی است، مربع کنیم، چه چیزی به دست می آید؟

خوب البته، !

بیایید به مثال ها نگاه کنیم:

ساده است، درست است؟ اگر ریشه در درجه دیگری باشد چه؟ خوبه!

همین منطق را دنبال کنید و خواص و اعمال ممکن را با درجه به خاطر بسپارید.

تئوری را در مورد موضوع "" بخوانید و همه چیز برای شما بسیار روشن خواهد شد.

به عنوان مثال، در اینجا یک عبارت است:

در این مثال، درجه زوج است، اما اگر فرد باشد چه؟ مجدداً ویژگی های توان را اعمال کنید و همه چیز را فاکتور بگیرید:

همه چیز با این به نظر واضح است، اما چگونه می توان ریشه یک عدد را به توان استخراج کرد؟ به عنوان مثال، در اینجا این است:

خیلی ساده، درست است؟ اگر مدرک بالاتر از دو باشد چه؟ ما با استفاده از ویژگی های درجه از همان منطق پیروی می کنیم:

خوب، همه چیز روشن است؟ سپس خودتان مثال ها را حل کنید:

و در اینجا پاسخ ها وجود دارد:

وارد شدن زیر علامت ریشه

چه کارهایی را که یاد نگرفتیم با ریشه ها انجام دهیم! تنها چیزی که باقی می ماند تمرین وارد کردن عدد زیر علامت ریشه است!

واقعا آسان است!

فرض کنید یک عدد نوشته شده است

با آن چه کنیم؟ خوب، البته، این سه را زیر ریشه پنهان کنید، به یاد داشته باشید که سه جذر آن است!

چرا ما به این نیاز داریم؟ بله، فقط برای گسترش توانایی‌هایمان هنگام حل مثال‌ها:

این خاصیت ریشه را چگونه دوست دارید؟ آیا زندگی را بسیار آسان تر می کند؟ برای من دقیقا همینطوره! فقط باید به خاطر داشته باشیم که فقط می توانیم اعداد مثبت را زیر علامت جذر وارد کنیم.

این مثال را خودتان حل کنید -
توانستی مدیریت کنی؟ بیایید ببینیم چه چیزی باید دریافت کنید:

آفرین! شما موفق شدید شماره را زیر علامت ریشه وارد کنید! بیایید به چیزی به همان اندازه مهم برویم - بیایید نحوه مقایسه اعداد حاوی یک جذر را بررسی کنیم!

مقایسه ریشه ها

چرا باید یاد بگیریم اعدادی را که دارای جذر هستند مقایسه کنیم؟

بسیار ساده. اغلب، در عبارات بزرگ و طولانی که در امتحان با آن مواجه می شویم، پاسخ غیرمنطقی دریافت می کنیم (یادتان باشد این چیست؟ امروز قبلاً در مورد آن صحبت کردیم!)

باید پاسخ های دریافت شده را مثلاً روی خط مختصات قرار دهیم تا مشخص کنیم کدام بازه برای حل معادله مناسب است. و اینجا مشکل پیش می آید: هیچ ماشین حسابی در امتحان وجود ندارد و بدون آن چگونه می توانید تصور کنید کدام عدد بزرگتر و کدام کمتر است؟ خودشه!

به عنوان مثال، تعیین کنید کدام بزرگتر است: یا؟

شما نمی توانید بلافاصله بگویید. خوب، بیایید از خاصیت disassembled استفاده کنیم که یک عدد را زیر علامت ریشه وارد کنیم؟

سپس ادامه دهید:

خب، بدیهی است که هر چه عدد زیر علامت ریشه بزرگتر باشد، خود ریشه بزرگتر است!

آن ها اگر پس از آن، .

از این به طور قاطع نتیجه می گیریم که. و هیچ کس ما را در غیر این صورت متقاعد نمی کند!

استخراج ریشه از اعداد زیاد

قبل از این یک ضریب زیر علامت ریشه وارد کردیم، اما چگونه آن را حذف کنیم؟ شما فقط باید آن را در فاکتورها قرار دهید و آنچه را استخراج می کنید استخراج کنید!

می شد مسیر متفاوتی را در پیش گرفت و به عوامل دیگر گسترش داد:

بد نیست، درست است؟ هر یک از این رویکردها صحیح است، هر طور که می خواهید تصمیم بگیرید.

فاکتورسازی هنگام حل مسائل غیر استاندارد مانند زیر بسیار مفید است:

نترسیم، بلکه عمل کن! بیایید هر عامل زیر ریشه را به عوامل جداگانه تجزیه کنیم:

حالا خودتان آن را امتحان کنید (بدون ماشین حساب! در امتحان نخواهد بود):

آیا این پایان است؟ در نیمه راه توقف نکنیم!

این همه چیز است، آنقدرها هم ترسناک نیست، درست است؟

اتفاق افتاد؟ آفرین، درست است!

حالا این مثال را امتحان کنید:

اما مثال، یک مهره سخت برای شکستن است، بنابراین شما نمی توانید فوراً بفهمید که چگونه به آن نزدیک شوید. اما، البته، ما می توانیم آن را مدیریت کنیم.

خب، فاکتورینگ را شروع کنیم؟ بیایید بلافاصله توجه داشته باشیم که می توانید یک عدد را بر تقسیم کنید (علائم تقسیم پذیری را به خاطر بسپارید):

حالا خودتان آن را امتحان کنید (دوباره بدون ماشین حساب!):

خوب کار کرد؟ آفرین، درست است!

بیایید آن را جمع بندی کنیم

1. جذر (ریشه دوم حسابی) یک عدد غیر منفی عددی غیرمنفی است که مربع آن برابر است.
   .
2. اگر به سادگی جذر چیزی را بگیریم، همیشه یک نتیجه غیر منفی می گیریم.
3. خواص یک ریشه حسابی:
4. هنگام مقایسه ریشه های مربع، لازم است به یاد داشته باشید که هر چه تعداد زیر علامت ریشه بزرگتر باشد، خود ریشه بزرگتر است.

جذرش چطوره؟ همه چیز روشن است؟

ما سعی کردیم بدون سر و صدا هر آنچه را که در امتحان باید در مورد جذر بدانید برای شما توضیح دهیم.

نوبت شماست برای ما بنویسید که آیا این موضوع برای شما سخت است یا خیر.

آیا چیز جدیدی یاد گرفتید یا همه چیز از قبل روشن بود؟

در نظرات بنویسید و در امتحانات خود موفق باشید!

در وب سایت ما ارسال شده است. ریشه گرفتن یک عدد اغلب در محاسبات مختلف استفاده می شود و ماشین حساب ما یک ابزار عالی برای این گونه محاسبات ریاضی است.

یک ماشین حساب آنلاین با روت به شما این امکان را می دهد که به سرعت و به راحتی هر گونه محاسبات مربوط به استخراج ریشه را انجام دهید. ریشه سوم را می توان به راحتی جذر یک عدد، ریشه یک عدد منفی، ریشه یک عدد مختلط، ریشه پی و غیره محاسبه کرد.

محاسبه ریشه یک عدد به صورت دستی امکان پذیر است. اگر بتوان کل ریشه یک عدد را محاسبه کرد، با استفاده از جدول ریشه ها به سادگی مقدار عبارت رادیکال را پیدا می کنیم. در موارد دیگر، محاسبه تقریبی ریشه‌ها به تجزیه بیان رادیکال به حاصل ضرب عوامل ساده‌تر می‌رسد، که قدرت هستند و می‌توان با علامت ریشه حذف شد و بیان زیر ریشه را تا حد امکان ساده‌تر کرد.

اما شما نباید از این محلول ریشه استفاده کنید. و به همین دلیل. اولا، شما باید زمان زیادی را برای چنین محاسباتی صرف کنید. اعداد در ریشه، یا به طور دقیق تر، عبارات می توانند کاملاً پیچیده باشند و درجه لزوماً درجه دوم یا مکعب نیست. ثانیا، دقت چنین محاسباتی همیشه رضایت بخش نیست. و ثالثاً، یک ماشین حساب روت آنلاین وجود دارد که هر گونه استخراج ریشه را در عرض چند ثانیه برای شما انجام می دهد.

استخراج ریشه از یک عدد به معنای یافتن عددی است که وقتی به توان n افزایش یابد، برابر با مقدار عبارت رادیکال باشد، جایی که n قدرت ریشه است و خود عدد پایه عدد است. ریشه ریشه درجه 2 را ساده یا مربع و ریشه درجه سوم را مکعب می گویند و در هر دو مورد از علامت درجه حذف می شود.

حل ریشه ها در یک ماشین حساب آنلاین فقط به نوشتن یک عبارت ریاضی در خط ورودی خلاصه می شود. استخراج ریشه در ماشین حساب به عنوان sqrt تعیین می شود و با استفاده از سه کلید - ریشه مربع sqrt(x)، ریشه مکعبی sqrt3(x) و ریشه n ام sqrt(x,y) انجام می شود. اطلاعات دقیق تر در مورد کنترل پنل در صفحه ارائه شده است.

ریشه دوم

با کلیک بر روی این دکمه، ورودی ریشه مربع در خط ورودی وارد می شود: sqrt(x)، فقط باید عبارت رادیکال را وارد کنید و پرانتز را ببندید.

مثالی از حل ریشه های مربع در ماشین حساب:

اگر ریشه یک عدد منفی و درجه ریشه زوج باشد، پاسخ به صورت یک عدد مختلط با واحد فرضی i نشان داده می شود.

جذر یک عدد منفی:

ریشه سوم

زمانی که نیاز به ریشه مکعب دارید از این کلید استفاده کنید. ورودی sqrt3(x) را در خط ورودی وارد می کند.

ریشه درجه 3:

ریشه درجه n

به طور طبیعی، ماشین حساب ریشه های آنلاین به شما امکان می دهد نه تنها ریشه های مربع و مکعب یک عدد، بلکه ریشه درجه n را نیز استخراج کنید. با کلیک بر روی این دکمه ورودی مانند sqrt (x x,y) نمایش داده می شود.

ریشه چهارم:

ریشه دقیق n از یک عدد فقط در صورتی قابل استخراج است که خود عدد دقیقاً ریشه nام باشد. در غیر این صورت، محاسبه تقریبی به نظر می رسد، اگرچه بسیار نزدیک به ایده آل است، زیرا دقت محاسبات ماشین حساب آنلاین به 14 رقم اعشار می رسد.

ریشه پنجم با نتیجه تقریبی:

ریشه کسری

ماشین حساب می تواند ریشه را از اعداد و عبارات مختلف محاسبه کند. یافتن ریشه کسری به استخراج جداگانه ریشه صورت و مخرج می رسد.

جذر کسری:

ریشه از ریشه

در مواردی که ریشه عبارت زیر ریشه باشد، با خواص ریشه ها می توان آنها را با یک ریشه جایگزین کرد که درجه آن برابر با حاصل ضرب درجات هر دو خواهد بود. به عبارت ساده، برای استخراج ریشه از ریشه، کافی است شاخص های ریشه را ضرب کنید. در مثال نشان داده شده در شکل، عبارت ریشه درجه سوم ریشه درجه دوم را می توان با یک ریشه درجه 6 جایگزین کرد. عبارت را به دلخواه خود مشخص کنید. در هر صورت، ماشین حساب همه چیز را به درستی محاسبه می کند.

تبریک می گویم: امروز ما به ریشه ها نگاه خواهیم کرد - یکی از جالب ترین موضوعات در کلاس هشتم. :)

بسیاری از مردم در مورد ریشه ها گیج می شوند، نه به این دلیل که آنها پیچیده هستند (چه چیزی در آن پیچیده است - چند تعریف و یکی دو ویژگی دیگر)، بلکه به این دلیل که در بیشتر کتاب های درسی مدرسه، ریشه ها از طریق چنین جنگلی تعریف می شوند که فقط نویسندگان کتاب های درسی خودشان می توانند این نوشته را درک کنند. و حتی پس از آن فقط با یک بطری ویسکی خوب. :)

بنابراین، اکنون صحیح ترین و شایسته ترین تعریف ریشه را ارائه می دهم - تنها چیزی که واقعاً باید به خاطر بسپارید. و سپس توضیح خواهم داد: چرا همه اینها مورد نیاز است و چگونه می توان آن را در عمل اعمال کرد.

اما ابتدا یک نکته مهم را به خاطر بسپارید که بسیاری از گردآورندگان کتاب‌های درسی به دلایلی آن را فراموش می‌کنند:

ریشه ها می توانند درجه زوج باشند ($\sqrt(a)$ مورد علاقه ما، و همچنین انواع $\sqrt(a)$ و زوج $\sqrt(a)$) و درجه فرد (همه انواع $\sqrt) (a)$، $\ sqrt(a)$، و غیره). و تعریف ریشه درجه فرد تا حدودی با یک درجه زوج متفاوت است.

احتمالاً 95٪ از تمام خطاها و سوء تفاهم های مرتبط با ریشه ها در این لعنتی "تا حدودی متفاوت" پنهان شده است. بنابراین بیایید یک بار برای همیشه اصطلاحات را روشن کنیم:

تعریف. حتی ریشه nاز عدد $a$ هر است غیر منفیعدد $b$ طوری است که $((b)^(n))=a$. و ریشه فرد همان عدد $a$ به طور کلی هر عدد $b$ است که برای آن برابری یکسان برقرار است: $((b)^(n))=a$.

در هر صورت، ریشه به این صورت مشخص می شود:

\(آ)\]

عدد $n$ در چنین نمادی را توان ریشه و عدد $a$ را عبارت رادیکال می نامند. به طور خاص، برای $n=2$، ما جذر «مورد علاقه» خود را می گیریم (به هر حال، این یک ریشه درجه زوج است)، و برای $n=3$، یک ریشه مکعبی (درجه فرد) به دست می آوریم. همچنین اغلب در مسائل و معادلات یافت می شود.

مثال ها. نمونه های کلاسیک ریشه های مربع:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \پایان (تراز کردن)\]

به هر حال، $\sqrt(0)=0$ و $\sqrt(1)=1$. این کاملاً منطقی است، زیرا $((0)^(2))=0$ و $((1)^(2))=1$.

ریشه های مکعبی نیز رایج هستند - نیازی به ترس از آنها نیست:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \پایان (تراز کردن)\]

خوب، چند "مثال عجیب و غریب":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اگر تفاوت بین درجه زوج و فرد را متوجه نشدید، تعریف را دوباره بخوانید. این خیلی مهمه!

در این بین یک ویژگی ناخوشایند ریشه ها را در نظر خواهیم گرفت که به همین دلیل نیاز به ارائه تعریف جداگانه ای برای توان زوج و فرد داشتیم.

اصلاً چرا ریشه نیاز است؟

پس از خواندن این تعریف، بسیاری از دانش‌آموزان می‌پرسند: «ریاضی‌دانان وقتی به این موضوع رسیدند چه سیگاری می‌کشیدند؟» و واقعاً: اصلاً چرا این همه ریشه لازم است؟

برای پاسخ به این سوال، لحظه ای به دوران ابتدایی برگردیم. به یاد داشته باشید: در آن زمان های دور، زمانی که درختان سبزتر و کوفته ها خوشمزه تر بودند، دغدغه اصلی ما این بود که اعداد را به درستی ضرب کنیم. خوب، چیزی شبیه "پنج در پنج - بیست و پنج"، همین. اما شما می توانید اعداد را نه به صورت جفت، بلکه به صورت سه تایی، چهارگانه و به طور کلی مجموعه های کامل ضرب کنید:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \پایان (تراز کردن)\]

با این حال، این نکته نیست. ترفند متفاوت است: ریاضیدانان افراد تنبلی هستند، بنابراین برای نوشتن ضرب ده پنج به این صورت مشکل داشتند:

به همین دلیل به مدارج رسیدند. چرا تعداد فاکتورها را به‌جای رشته‌ای بلند به‌عنوان بالانوشت نمی‌نویسیم؟ چیزی شبیه به این:

خیلی راحته! همه محاسبات به میزان قابل توجهی کاهش می یابد، و شما مجبور نیستید یک دسته کاغذ پوستی و دفترچه یادداشت را برای نوشتن 5183 هدر دهید. این رکورد را قوه عدد می نامیدند، یک دسته از خواص در آن یافت شد، اما معلوم شد که خوشبختی کوتاه مدت است.

پس از یک مهمانی بزرگ نوشیدنی، که فقط برای "کشف" درجه ها برگزار شد، یک ریاضیدان سرسخت ناگهان پرسید: "اگر درجه یک عدد را بدانیم، اما خود عدد ناشناخته باشد، چه؟" اکنون، در واقع، اگر بدانیم که یک عدد معین $b$، مثلاً، به توان 5 243 می دهد، پس چگونه می توانیم حدس بزنیم که خود عدد $b$ با چه چیزی برابر است؟

این مشکل بسیار جهانی تر از آن چیزی است که ممکن است در نگاه اول به نظر برسد. زیرا معلوم شد که برای اکثر قدرت های "آماده" چنین اعداد "اولیه" وجود ندارد. خودتان قضاوت کنید:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اگر $((b)^(3))=50$ باشد چه؟ معلوم می شود که باید عدد خاصی را پیدا کنیم که وقتی در سه برابر آن ضرب شود، 50 به ما بدهد. اما این عدد چیست؟ به وضوح بزرگتر از 3 است، زیرا 3 3 = 27 است< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. یعنی این عدد بین سه تا چهار قرار دارد، اما شما نمی‌دانید که برابر با چه چیزی است.

دقیقاً به همین دلیل است که ریاضیدانان به $n$th ریشه رسیدند. دقیقاً به همین دلیل است که نماد رادیکال $\sqrt(*)$ معرفی شد. برای تعیین همان عدد $b$، که به میزان مشخص شده مقداری از قبل شناخته شده را به ما می دهد

\[\sqrt[n](a)=b\پیکان راست ((b)^(n))=a\]

من بحث نمی کنم: اغلب این ریشه ها به راحتی محاسبه می شوند - چندین نمونه از این قبیل را در بالا دیدیم. اما با این حال، در بیشتر موارد، اگر به یک عدد دلخواه فکر کنید و سپس سعی کنید ریشه یک درجه دلخواه را از آن استخراج کنید، با مشکل وحشتناکی روبرو خواهید شد.

چه چیزی آنجاست! حتی ساده ترین و آشناترین $\sqrt(2)$ را نمی توان به شکل معمول ما - به عنوان یک عدد صحیح یا یک کسری - نشان داد. و اگر این عدد را در یک ماشین حساب وارد کنید، این را خواهید دید:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

همانطور که می بینید، بعد از نقطه اعشار یک دنباله بی پایان از اعداد وجود دارد که از هیچ منطقی تبعیت نمی کنند. البته می توانید این عدد را گرد کنید تا به سرعت با اعداد دیگر مقایسه کنید. مثلا:

\[\sqrt(2)=1.4142...\تقریباً 1.4 \lt 1.5\]

یا این هم یک مثال دیگر:

\[\sqrt(3)=1.73205...\تقریباً 1.7 \gt 1.5\]

اما همه این گرد کردن، اولا، کاملاً خشن هستند. و ثانیاً ، شما همچنین باید بتوانید با مقادیر تقریبی کار کنید ، در غیر این صورت می توانید تعداد زیادی خطای غیر آشکار را بگیرید (به هر حال ، مهارت مقایسه و گرد کردن باید در نمایه Unified State Examination آزمایش شود).

بنابراین، در ریاضیات جدی شما نمی توانید بدون ریشه انجام دهید - آنها همان نمایندگان مساوی مجموعه اعداد واقعی $\mathbb(R)$ هستند، درست مانند کسری ها و اعداد صحیح که مدت ها برای ما آشنا بودند.

ناتوانی در نمایش ریشه به عنوان کسری از شکل $\frac(p)(q)$ به این معنی است که این ریشه یک عدد گویا نیست. چنین اعدادی غیر منطقی نامیده می شوند و نمی توان آنها را به طور دقیق نشان داد مگر با کمک یک رادیکال یا ساختارهای دیگر که مخصوص این کار طراحی شده است (لگاریتم ها، توان ها، حدود و غیره). اما بیشتر در مورد آن زمان دیگر.

بیایید چندین مثال را در نظر بگیریم که پس از تمام محاسبات، اعداد غیر منطقی همچنان در پاسخ باقی خواهند ماند.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\تقریباً -1.2599... \\ \پایان (تراز کردن)\]

طبیعتاً از ظاهر ریشه تقریباً غیرممکن است حدس بزنید که چه اعدادی بعد از نقطه اعشار می آیند. با این حال، می توانید روی یک ماشین حساب حساب کنید، اما حتی پیشرفته ترین ماشین حساب تاریخ فقط چند رقم اول یک عدد غیر منطقی را به ما می دهد. بنابراین نوشتن پاسخ ها به شکل $\sqrt(5)$ و $\sqrt(-2)$ بسیار صحیح تر است.

دقیقا به همین دلیل اختراع شدند. برای ضبط راحت پاسخ ها.

چرا دو تعریف لازم است؟

خواننده با دقت احتمالا قبلاً متوجه شده است که تمام جذرهای داده شده در مثال ها از اعداد مثبت گرفته شده است. خوب، حداقل از ابتدا. اما ریشه های مکعب را می توان با آرامش از هر عددی - مثبت یا منفی - استخراج کرد.

چرا این اتفاق می افتد؟ به نمودار تابع $y=((x)^(2))$ نگاهی بیندازید:

نمودار یک تابع درجه دوم دو ریشه می دهد: مثبت و منفی

بیایید سعی کنیم $\sqrt(4)$ را با استفاده از این نمودار محاسبه کنیم. برای انجام این کار، یک خط افقی $y=4$ روی نمودار رسم می شود (با رنگ قرمز مشخص شده است) که در دو نقطه با سهمی قطع می شود: $((x)_(1))=2$ و $((x) )_(2)) =-2$. این کاملاً منطقی است، زیرا

همه چیز با عدد اول مشخص است - مثبت است، بنابراین ریشه است:

اما با نکته دوم چه باید کرد؟ مثل اینکه چهار به طور همزمان دو ریشه دارد؟ به هر حال، اگر عدد −2 را مربع کنیم، 4 نیز به دست می‌آید. چرا $\sqrt(4)=-2$ را نمی‌نویسیم؟ و چرا معلمان به چنین پست هایی طوری نگاه می کنند که انگار می خواهند شما را بخورند؟ :)

مشکل این است که اگر هیچ شرط اضافی را اعمال نکنید، آنگاه چهار ریشه دوم خواهد داشت - مثبت و منفی. و هر عدد مثبتی دو عدد از آنها را نیز خواهد داشت. اما اعداد منفی اصلاً ریشه نخواهند داشت - این را می توان از همان نمودار مشاهده کرد، زیرا سهمی هرگز زیر محور نمی افتد. y، یعنی مقادیر منفی را نمی پذیرد.

یک مشکل مشابه برای همه ریشه های دارای توان زوج رخ می دهد:

1. به بیان دقیق، هر عدد مثبت دارای دو ریشه با توان زوج $n$ خواهد بود.
2. از اعداد منفی، ریشه حتی $n$ به هیچ وجه استخراج نمی شود.

به همین دلیل است که در تعریف ریشه یک درجه زوج $n$ به طور خاص تصریح شده است که پاسخ باید یک عدد غیر منفی باشد. اینگونه از ابهام خلاص می شویم.

اما برای $n$ فرد چنین مشکلی وجود ندارد. برای مشاهده این، اجازه دهید به نمودار تابع $y=((x)^(3))$ نگاه کنیم:

سهمی مکعبی می تواند هر مقداری را بگیرد، بنابراین ریشه مکعب را می توان از هر عددی گرفت

از این نمودار دو نتیجه می توان گرفت:

1. شاخه های یک سهمی مکعبی، بر خلاف یک سهمی معمولی، در هر دو جهت - بالا و پایین - به بی نهایت می روند. بنابراین، مهم نیست که چه ارتفاعی یک خط افقی بکشیم، این خط قطعا با نمودار ما قطع خواهد شد. در نتیجه، ریشه مکعب را همیشه می توان از هر عددی مطلق استخراج کرد.
2. علاوه بر این، چنین تقاطعی همیشه منحصر به فرد خواهد بود، بنابراین نیازی نیست به این فکر کنید که کدام عدد ریشه "درست" در نظر گرفته می شود و کدام یک را نادیده بگیرید. به همین دلیل است که تعیین ریشه برای یک درجه فرد ساده تر از یک درجه زوج است (نیازی برای غیر منفی بودن وجود ندارد).

حیف که این موارد ساده در اکثر کتاب های درسی توضیح داده نشده است. در عوض، مغز ما با انواع ریشه های حسابی و خواص آنها شروع به اوج گرفتن می کند.

بله، من بحث نمی کنم: شما همچنین باید بدانید که ریشه حسابی چیست. و من در یک درس جداگانه در مورد این موضوع صحبت خواهم کرد. امروز ما نیز در مورد آن صحبت خواهیم کرد، زیرا بدون آن همه افکار در مورد ریشه های تعدد $n$-th ناقص خواهند بود.

اما ابتدا باید تعریفی را که در بالا ارائه دادم به وضوح درک کنید. در غیر این صورت به دلیل فراوانی اصطلاحات، چنان آشفتگی در سر شما شروع می شود که در نهایت هیچ چیز را متوجه نمی شوید.

تنها کاری که باید انجام دهید این است که تفاوت بین نشانگرهای زوج و فرد را درک کنید. بنابراین، بیایید یک بار دیگر همه چیزهایی را که واقعاً باید در مورد ریشه ها بدانید را جمع آوری کنیم:

1. ریشه یک درجه زوج فقط از یک عدد غیر منفی وجود دارد و خود همیشه یک عدد غیر منفی است. برای اعداد منفی چنین ریشه ای تعریف نشده است.
2. اما ریشه یک درجه فرد از هر عددی وجود دارد و خود می تواند هر عددی باشد: برای اعداد مثبت مثبت است و برای اعداد منفی، همانطور که سرپوش اشاره می کند، منفی است.

آیا سخت است؟ نه، سخت نیست. واضح است؟ بله، کاملا واضح است! پس حالا کمی با محاسبات تمرین می کنیم.

ویژگی ها و محدودیت های اساسی

ریشه ها خواص و محدودیت های عجیب و غریب زیادی دارند - این در یک درس جداگانه مورد بحث قرار خواهد گرفت. بنابراین ، اکنون ما فقط مهمترین "ترفند" را در نظر خواهیم گرفت که فقط برای ریشه هایی با شاخص زوج اعمال می شود. بیایید این ویژگی را به صورت فرمول بنویسیم:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\ چپ| x\راست|\]

به عبارت دیگر، اگر عددی را به توان زوج برسانیم و سپس ریشه همان توان را استخراج کنیم، عدد اصلی را بدست نمی آوریم، بلکه مدول آن را بدست می آوریم. این یک قضیه ساده است که به راحتی قابل اثبات است (کافی است $x$ غیر منفی را جداگانه در نظر بگیرید و سپس منفی را جداگانه در نظر بگیرید). معلمان دائماً در مورد آن صحبت می کنند، در هر کتاب درسی مدرسه آورده شده است. اما به محض حل معادلات غیرمنطقی (یعنی معادلات حاوی یک علامت رادیکال) دانش آموزان به اتفاق آرا این فرمول را فراموش می کنند.

برای درک دقیق موضوع، بیایید تمام فرمول ها را برای یک دقیقه فراموش کنیم و سعی کنیم دو عدد را مستقیماً محاسبه کنیم:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

اینها نمونه های بسیار ساده ای هستند. اکثر مردم مثال اول را حل می کنند، اما بسیاری از مردم در مورد دوم گیر می کنند. برای حل چنین مزخرفی بدون مشکل، همیشه این روش را در نظر بگیرید:

1. ابتدا عدد به توان چهارم افزایش می یابد. خب یه جورایی راحته یک عدد جدید دریافت خواهید کرد که حتی در جدول ضرب نیز یافت می شود.
2. و اکنون از این عدد جدید باید ریشه چهارم را استخراج کرد. آن ها هیچ "کاهش" ریشه ها و قدرت ها اتفاق نمی افتد - این اقدامات متوالی هستند.

بیایید به اولین عبارت نگاه کنیم: $\sqrt(((3)^(4)))$. بدیهی است که ابتدا باید عبارت زیر ریشه را محاسبه کنید:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

سپس ریشه چهارم عدد 81 را استخراج می کنیم:

حالا بیایید همین کار را با عبارت دوم انجام دهیم. ابتدا عدد -3 را به توان چهارم می‌رسانیم که باید آن را در خود 4 برابر کنیم:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ چپ(-3 \راست)=81\]

ما یک عدد مثبت دریافت کردیم، زیرا تعداد کل منفی های محصول 4 است و همه آنها یکدیگر را خنثی می کنند (در نهایت، منهای برای منهای یک مثبت می دهد). سپس دوباره ریشه را استخراج می کنیم:

در اصل، این خط نمی‌توانست نوشته شود، زیرا بی‌معنی است که پاسخ یکسان باشد. آن ها یک ریشه زوج از همان قدرت زوج، معایب را «سوزاند»، و از این نظر، نتیجه از یک ماژول معمولی قابل تشخیص نیست:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4))=\left| -3 \right|=3. \\ \پایان (تراز کردن)\]

این محاسبات با تعریف ریشه یک درجه زوج مطابقت خوبی دارد: نتیجه همیشه غیر منفی است و علامت رادیکال نیز همیشه دارای یک عدد غیر منفی است. در غیر این صورت، ریشه تعریف نشده است.

توجه به رویه

1. علامت $\sqrt(((a)^(2)))$ به این معنی است که ابتدا عدد $a$ را مربع می کنیم و سپس ریشه دوم مقدار حاصل را می گیریم. بنابراین، می‌توان مطمئن بود که همیشه یک عدد غیر منفی زیر علامت ریشه وجود دارد، زیرا $((a)^(2))\ge 0$ در هر صورت.
2. اما علامت $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$، برعکس، به این معنی است که ابتدا ریشه یک عدد معین $a$ را می گیریم و تنها سپس نتیجه را مربع می کنیم. بنابراین، عدد $a$ به هیچ وجه نمی تواند منفی باشد - این یک الزام اجباری است که در تعریف گنجانده شده است.

بنابراین، در هیچ موردی نباید بدون فکر ریشه ها و درجات را کاهش داد، در نتیجه ظاهراً عبارت اصلی را "ساده" کرد. زیرا اگر ریشه یک عدد منفی داشته باشد و نمایش زوج باشد، یکسری مشکل به دست می آید.

با این حال، همه این مشکلات فقط برای حتی شاخص ها مرتبط هستند.

حذف علامت منفی از زیر علامت ریشه

طبیعتاً ریشه هایی با توان های فرد نیز ویژگی خاص خود را دارند که اصولاً با زوج وجود ندارد. برای مثال:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

به طور خلاصه، می توانید منهای را از زیر علامت ریشه های درجه فرد حذف کنید. این یک ویژگی بسیار مفید است که به شما امکان می دهد تمام معایب را "بیرون بیندازید":

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \پایان (تراز کردن)\]

این ویژگی ساده بسیاری از محاسبات را بسیار ساده می کند. اکنون نیازی به نگرانی نیست: اگر یک عبارت منفی در زیر ریشه پنهان بود، اما درجه در ریشه یکنواخت بود، چه؟ فقط کافی است تمام منفی ها را خارج از ریشه "بیرون بیندازیم" ، پس از آن می توان آنها را در یکدیگر ضرب کرد ، تقسیم کرد و به طور کلی کارهای مشکوک زیادی انجام داد ، که در مورد ریشه های "کلاسیک" تضمین می شود که ما را به سمت آن سوق دهد. یک خطا.

و در اینجا تعریف دیگری به صحنه می آید - همان تعریفی که در بیشتر مدارس مطالعه عبارات غیرمنطقی را با آن آغاز می کنند. و بدون آن استدلال ما ناقص خواهد بود. ملاقات!

ریشه حسابی

بیایید برای لحظه ای فرض کنیم که در زیر علامت ریشه فقط اعداد مثبت یا در موارد شدید صفر وجود دارد. بیایید شاخص های زوج/فرد را فراموش کنیم، بیایید تمام تعاریف ارائه شده در بالا را فراموش کنیم - ما فقط با اعداد غیر منفی کار خواهیم کرد. بعدش چی شد؟

و سپس یک ریشه حسابی دریافت خواهیم کرد - تا حدی با تعاریف "استاندارد" ما همپوشانی دارد، اما هنوز با آنها متفاوت است.

تعریف. ریشه حسابی درجه $n$th یک عدد غیر منفی $a$ یک عدد غیر منفی $b$ است به طوری که $((b)^(n))=a$.

همانطور که می بینیم، ما دیگر علاقه ای به برابری نداریم. در عوض، محدودیت جدیدی ظاهر شد: عبارت رادیکال اکنون همیشه غیر منفی است، و خود ریشه نیز غیرمنفی است.

برای درک بهتر تفاوت ریشه حسابی با ریشه معمولی، به نمودارهای سهمی مربع و مکعبی که قبلاً با آنها آشنا هستیم نگاهی بیندازید:

منطقه جستجو ریشه حسابی - اعداد غیر منفی

همانطور که می بینید، از این پس ما فقط به آن دسته از نمودارهایی علاقه مندیم که در سه ماهه مختصات اول قرار دارند - جایی که مختصات $x$ و $y$ مثبت (یا حداقل صفر) هستند. دیگر نیازی نیست به اندیکاتور نگاه کنید تا بفهمید که آیا حق داریم یک عدد منفی را زیر ریشه قرار دهیم یا خیر. زیرا دیگر اصولاً اعداد منفی در نظر گرفته نمی شوند.

ممکن است بپرسید: "خب، چرا به چنین تعریف خنثی شده ای نیاز داریم؟" یا: «چرا نمی‌توانیم با تعریف استانداردی که در بالا ارائه شد کنار بیاییم؟»

خوب، من فقط یک ویژگی می دهم که به دلیل آن تعریف جدید مناسب می شود. به عنوان مثال، قانون قدرت:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

لطفا توجه داشته باشید: ما می توانیم عبارت رادیکال را به هر توانی افزایش دهیم و در همان زمان توان ریشه را در همان توان ضرب کنیم - و نتیجه همان عدد خواهد بود! در اینجا نمونه هایی وجود دارد:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \پایان (تراز کردن)\]

خب پس مشکل اصلی چیه؟ چرا قبلا نمی توانستیم این کار را انجام دهیم؟ در اینجا دلیل آن است. بیایید یک عبارت ساده را در نظر بگیریم: $\sqrt(-2)$ - این عدد در درک کلاسیک ما کاملاً عادی است، اما از نقطه نظر ریشه حسابی کاملاً غیرقابل قبول است. بیایید سعی کنیم آن را تبدیل کنیم:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \راست))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end (تراز کردن)$

همانطور که می بینید، در حالت اول، منهای را از زیر رادیکال حذف کردیم (حق داریم، زیرا توان فرد است)، و در مورد دوم از فرمول بالا استفاده کردیم. آن ها از نظر ریاضی همه چیز طبق قوانین انجام می شود.

WTF؟! چگونه یک عدد می تواند مثبت و منفی باشد؟ به هیچ وجه. فقط این است که فرمول توان، که برای اعداد مثبت و صفر عالی عمل می کند، در مورد اعداد منفی شروع به ایجاد بدعت کامل می کند.

برای رهایی از چنین ابهامی بود که ریشه های حسابی اختراع شد. یک درس بزرگ جداگانه به آنها اختصاص داده شده است که در آن تمام خواص آنها را با جزئیات در نظر می گیریم. بنابراین ما اکنون روی آنها تمرکز نمی کنیم - درس قبلاً خیلی طولانی شده است.

ریشه جبری: برای کسانی که می خواهند بیشتر بدانند

مدت ها فکر کردم که آیا این موضوع را در یک پاراگراف جداگانه قرار دهم یا خیر. در نهایت تصمیم گرفتم آن را اینجا بگذارم. این مطالب برای کسانی در نظر گرفته شده است که می خواهند ریشه ها را حتی بهتر درک کنند - دیگر نه در سطح متوسط ​​"مدرسه"، بلکه در سطح نزدیک به سطح المپیاد.

بنابراین: علاوه بر تعریف "کلاسیک" از ریشه $n$th یک عدد و تقسیم مربوط به واحدهای زوج و فرد، یک تعریف "بزرگسال" تر وجود دارد که به هیچ وجه به برابری و سایر ظرافت ها بستگی ندارد. به این ریشه جبری می گویند.

تعریف. ریشه جبری $n$th هر $a$ مجموعه تمام اعداد $b$ است به طوری که $((b)^(n))=a$. هیچ عنوان مشخصی برای چنین ریشه هایی وجود ندارد، بنابراین ما فقط یک خط تیره در بالای صفحه قرار می دهیم:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \راست. \راست\) \]

تفاوت اساسی با تعریف استاندارد ارائه شده در ابتدای درس این است که ریشه جبری یک عدد خاص نیست، بلکه یک مجموعه است. و از آنجایی که ما با اعداد واقعی کار می کنیم، این مجموعه تنها در سه نوع موجود است:

1. مجموعه تهی. زمانی اتفاق می‌افتد که باید از یک عدد منفی یک ریشه جبری با درجه زوج پیدا کنید.
2. مجموعه ای متشکل از یک عنصر واحد. تمام ریشه های توان های فرد و همچنین ریشه های توان های زوج صفر در این دسته قرار می گیرند.
3. در نهایت، مجموعه می تواند شامل دو عدد باشد - همان $((x)_(1))$ و $((x)_(2))=-((x)_(1))$ که در تابع درجه دوم نمودار بر این اساس، چنین ترتیبی فقط هنگام استخراج ریشه یک درجه زوج از یک عدد مثبت امکان پذیر است.

مورد آخر سزاوار بررسی دقیق تر است. بیایید چند مثال را بشماریم تا تفاوت را بفهمیم.

مثال. عبارات را ارزیابی کنید:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

راه حل. اولین عبارت ساده است:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \راست\)\]

این دو عدد هستند که بخشی از مجموعه هستند. زیرا مجذور هر کدام یک چهار می دهد.

\[\overline(\sqrt(-27))=\چپ\( -3 \راست\)\]

در اینجا مجموعه ای را می بینیم که فقط از یک عدد تشکیل شده است. این کاملاً منطقی است، زیرا توان ریشه فرد است.

در نهایت، آخرین عبارت:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

یک مجموعه خالی دریافت کردیم. زیرا یک عدد واقعی وجود ندارد که وقتی به توان چهارم (یعنی زوج!) افزایش یابد، عدد منفی -16 را به ما بدهد.

یادداشت پایانی لطفاً توجه داشته باشید: تصادفی نبود که در همه جا متوجه شدم که ما با اعداد واقعی کار می کنیم. زیرا اعداد مختلط نیز وجود دارد - محاسبه $\sqrt(-16)$ در آنجا کاملاً امکان پذیر است و بسیاری چیزهای عجیب دیگر.

با این حال، اعداد مختلط تقریباً هرگز در دروس ریاضیات مدارس مدرن ظاهر نمی شوند. آنها از اکثر کتاب های درسی حذف شده اند، زیرا مقامات ما این موضوع را "بسیار دشوار برای درک" می دانند.

همین. در درس بعدی به تمام ویژگی های کلیدی ریشه ها نگاه می کنیم و در نهایت نحوه ساده سازی عبارات غیر منطقی را یاد می گیریم. :)

وقت آن است که آن را مرتب کنیم روش های استخراج ریشه. آنها بر اساس ویژگی های ریشه ها، به ویژه، بر تساوی هستند، که برای هر عدد غیر منفی b صادق است.

در زیر روش های اصلی استخراج ریشه را یکی یکی بررسی خواهیم کرد.

بیایید با ساده ترین حالت شروع کنیم - استخراج ریشه از اعداد طبیعی با استفاده از جدول مربع ها، جدول مکعب ها و غیره.

اگر جداول مربع، مکعب و غیره اگر آن را در دسترس ندارید، منطقی است که از روش استخراج ریشه استفاده کنید، که شامل تجزیه عدد رادیکال به عوامل اول است.

شایان ذکر است که چه چیزی برای ریشه هایی با توان های فرد امکان پذیر است.

در نهایت، بیایید روشی را در نظر بگیریم که به ما امکان می دهد ارقام مقدار ریشه را به ترتیب پیدا کنیم.

بیا شروع کنیم.

استفاده از جدول مربع ها، جدول مکعب ها و غیره.

در ساده ترین موارد، جداول مربع، مکعب و غیره به شما امکان استخراج ریشه را می دهد. این جداول چیست؟

جدول مربع های اعداد صحیح از 0 تا 99 شامل (نشان داده شده در زیر) از دو ناحیه تشکیل شده است. منطقه اول جدول بر روی پس زمینه خاکستری قرار دارد؛ با انتخاب یک ردیف خاص و یک ستون خاص، به شما امکان می دهد یک عدد از 0 تا 99 بنویسید. برای مثال، بیایید یک ردیف 8 ده تایی و یک ستون 3 واحدی را انتخاب کنیم، با این کار عدد 83 را ثابت کردیم. منطقه دوم بقیه جدول را اشغال می کند. هر سلول در محل تقاطع یک ردیف خاص و یک ستون خاص قرار دارد و شامل مربع عدد مربوطه از 0 تا 99 است. در تقاطع ردیف انتخابی ما از 8 ده و ستون 3 از یک، سلولی با شماره 6889 وجود دارد که مربع عدد 83 است.

جداول مکعب ها، جداول توان های چهارم اعداد از 0 تا 99 و ... شبیه جدول مربع ها هستند، فقط در منطقه دوم حاوی مکعب ها، قدرت های چهارم و غیره هستند. اعداد مربوطه

جداول مربع، مکعب، قدرت چهارم و غیره به شما امکان استخراج ریشه های مربع، ریشه های مکعبی، ریشه های چهارم و غیره را می دهد. بر این اساس از اعداد این جداول. اجازه دهید اصل استفاده از آنها را در هنگام استخراج ریشه توضیح دهیم.

فرض کنید باید ریشه n عدد a را استخراج کنیم، در حالی که عدد a در جدول توان های n موجود است. با استفاده از این جدول عدد b را به گونه ای می یابیم که a=b n. سپس بنابراین عدد b ریشه مورد نظر درجه n خواهد بود.

به عنوان مثال، بیایید نحوه استفاده از جدول مکعبی برای استخراج ریشه مکعب 19683 را نشان دهیم. عدد 19683 را در جدول مکعب ها می یابیم، از آن در می یابیم که این عدد مکعب عدد 27 است، بنابراین، .

واضح است که جداول توان های n برای استخراج ریشه بسیار راحت هستند. با این حال، آنها اغلب در دسترس نیستند و تدوین آنها نیاز به زمان دارد. علاوه بر این، اغلب لازم است ریشه هایی را از اعدادی که در جداول مربوطه موجود نیستند استخراج کرد. در این موارد، باید به روش های دیگر ریشه یابی متوسل شوید.

فاکتورگیری یک عدد رادیکال به عوامل اول

یک راه نسبتاً راحت برای استخراج ریشه یک عدد طبیعی (البته اگر ریشه استخراج شود) این است که عدد رادیکال را به عوامل اول تجزیه کنید. خود نکته این است: پس از آن بسیار آسان است که آن را به عنوان یک توان با توان مورد نظر نشان دهید، که به شما امکان می دهد مقدار ریشه را بدست آورید. بیایید این نکته را روشن کنیم.

ریشه n ام یک عدد طبیعی a گرفته شود و مقدار آن برابر b باشد. در این حالت برابری a=b n درست است. عدد b را مانند هر عدد طبیعی می توان به صورت حاصلضرب تمام عوامل اول آن p 1 , p 2 , ..., p m به شکل p 1 · p 2 · ... · p m و عدد رادیکال a در این مورد نشان داد. به صورت (p 1 ·p 2 ·…·p m) n نشان داده می شود. از آنجایی که تجزیه یک عدد به عوامل اول منحصر به فرد است، تجزیه عدد رادیکال a به ضرایب اول به صورت (p 1 ·p 2 ·…·p m) n خواهد بود که محاسبه مقدار ریشه را ممکن می کند. مانند .

توجه داشته باشید که اگر تجزیه به عوامل اول یک عدد رادیکال a را نتوان به شکل (p 1 · p 2 · … · p m) n نشان داد، آنگاه ریشه n چنین عددی a به طور کامل استخراج نمی شود.

بیایید در هنگام حل مثال ها این را بفهمیم.

مثال.

جذر 144 را بگیرید.

راه حل.

اگر به جدول مربع های ارائه شده در پاراگراف قبل نگاه کنید، به وضوح می بینید که 144 = 12 2، که از آن مشخص است که جذر 144 برابر با 12 است.

اما با توجه به این نکته، ما به چگونگی استخراج ریشه با تجزیه عدد رادیکال 144 به عوامل اول علاقه مندیم. بیایید به این راه حل نگاه کنیم.

تجزیه کنیم 144 تا عوامل اول:

یعنی 144=2·2·2·2·3·3. بر اساس تجزیه حاصل، تبدیلات زیر را می توان انجام داد: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. از این رو، .

با استفاده از خواص درجه و خواص ریشه، می توان راه حل را کمی متفاوت فرموله کرد: .

پاسخ:

برای تجمیع مطالب، راه حل های دو مثال دیگر را در نظر بگیرید.

مثال.

مقدار ریشه را محاسبه کنید.

راه حل.

فاکتورسازی اول عدد رادیکال 243 به شکل 243=3 5 است. بدین ترتیب، .

پاسخ:

مثال.

آیا مقدار ریشه یک عدد صحیح است؟

راه حل.

برای پاسخ به این سوال، بیایید عدد رادیکال را در ضرایب اول قرار دهیم و ببینیم که آیا می توان آن را به صورت مکعبی از یک عدد صحیح نشان داد یا خیر.

ما 285 768=2 3 · 3 6 · 7 2 داریم. بسط حاصل را نمی توان به صورت مکعبی از یک عدد صحیح نشان داد، زیرا توان ضریب اول 7 مضرب سه نیست. بنابراین، ریشه مکعب 285768 را نمی توان به طور کامل استخراج کرد.

پاسخ:

خیر

استخراج ریشه از اعداد کسری

وقت آن است که بفهمیم چگونه ریشه یک عدد کسری را استخراج کنیم. بگذارید عدد رادیکال کسری به صورت p/q نوشته شود. با توجه به خاصیت ریشه یک ضریب برابری زیر صادق است. از این برابری بر می آید قانون استخراج ریشه کسری: ریشه کسری برابر است با نصاب ریشه صورت تقسیم بر ریشه مخرج.

بیایید به مثالی از استخراج ریشه از کسری نگاه کنیم.

مثال.

جذر کسری مشترک 25/169 چقدر است؟

راه حل.

با استفاده از جدول مربع ها متوجه می شویم که جذر صورت کسر اصلی برابر با 5 و جذر مخرج برابر با 13 است. سپس . این استخراج ریشه کسر مشترک 25/169 را کامل می کند.

پاسخ:

ریشه یک کسر اعشاری یا عدد مختلط پس از جایگزینی اعداد رادیکال با کسرهای معمولی استخراج می شود.

مثال.

ریشه مکعب کسر اعشاری 474.552 را بگیرید.

راه حل.

بیایید کسر اعشاری اصلی را به عنوان یک کسر معمولی تصور کنیم: 474.552=474552/1000. سپس . باقی مانده است که ریشه های مکعبی را که در صورت و مخرج کسری به دست آمده است استخراج کنیم. زیرا 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 = 78 3 و 1 000 = 10 3، سپس و . تنها چیزی که باقی می ماند تکمیل محاسبات است .

پاسخ:

.

ریشه گرفتن یک عدد منفی

ارزش آن را دارد که در استخراج ریشه ها از اعداد منفی صحبت کنیم. هنگام مطالعه ریشه ها، گفتیم که وقتی توان ریشه یک عدد فرد باشد، می تواند زیر علامت ریشه یک عدد منفی وجود داشته باشد. ما به این ورودی ها معنی زیر را دادیم: برای یک عدد منفی -a و یک توان فرد از ریشه 2 n-1، . این برابری می دهد قانون استخراج ریشه های فرد از اعداد منفی: برای استخراج ریشه یک عدد منفی باید ریشه عدد مثبت مقابل را بگیرید و جلوی نتیجه آن علامت منفی قرار دهید.

بیایید به مثال راه حل نگاه کنیم.

مثال.

مقدار ریشه را پیدا کنید.

راه حل.

بیایید عبارت اصلی را طوری تبدیل کنیم که زیر علامت ریشه یک عدد مثبت وجود داشته باشد: . حالا عدد مختلط را با یک کسر معمولی جایگزین کنید: . ما قانون استخراج ریشه یک کسر معمولی را اعمال می کنیم: . باقی مانده است که ریشه ها را در صورت و مخرج کسر حاصل محاسبه کنیم: .

در اینجا خلاصه ای کوتاه از راه حل آورده شده است: .

پاسخ:

.

تعیین مقدار ریشه به صورت بیتی

در حالت کلی، در زیر ریشه عددی وجود دارد که با استفاده از تکنیک های مورد بحث در بالا، نمی توان آن را به عنوان توان n هر عددی نشان داد. اما در این مورد نیاز به دانستن معنای یک ریشه معین، حداقل تا یک علامت خاص وجود دارد. در این مورد، برای استخراج ریشه، می توانید از الگوریتمی استفاده کنید که به شما امکان می دهد به طور متوالی تعداد کافی از مقادیر رقمی عدد مورد نظر را بدست آورید.

اولین قدم این الگوریتم این است که بفهمیم مهم ترین بیت از مقدار ریشه چیست. برای انجام این کار، اعداد 0، 10، 100، ... به ترتیب به توان n افزایش می یابند تا لحظه ای که عددی از عدد رادیکال بیشتر شود. سپس عددی که در مرحله قبل به توان n رساندیم نشان دهنده مهم ترین رقم مربوطه خواهد بود.

برای مثال، هنگام استخراج جذر پنج، این مرحله از الگوریتم را در نظر بگیرید. اعداد 0، 10، 100، ... را بگیرید و آنها را مربع کنید تا عددی بزرگتر از 5 به دست آوریم. ما 0 2 = 0 داریم<5 , 10 2 =100>5، به این معنی که مهم ترین رقم، رقم یکان خواهد بود. مقدار این بیت و همچنین مقادیر پایین تر در مراحل بعدی الگوریتم استخراج ریشه پیدا می شود.

تمام مراحل بعدی الگوریتم با هدف روشن کردن متوالی ارزش ریشه با یافتن مقادیر بیت های بعدی از مقدار مورد نظر ریشه، شروع از بالاترین و حرکت به پایین ترین آنها، انجام می شود. به عنوان مثال، مقدار ریشه در مرحله اول 2، در مرحله دوم - 2.2، در مرحله سوم - 2.23 و به همین ترتیب 2.236067977 به نظر می رسد. اجازه دهید نحوه یافتن مقادیر ارقام را شرح دهیم.

ارقام با جستجو در مقادیر احتمالی 0، 1، 2، ...، 9 پیدا می شوند. در این حالت، توان های n اعداد مربوطه به صورت موازی محاسبه شده و با عدد رادیکال مقایسه می شوند. اگر در مرحله ای مقدار درجه از عدد رادیکال بیشتر شود، آنگاه مقدار رقم مربوط به مقدار قبلی پیدا شده در نظر گرفته می شود و انتقال به مرحله بعدی الگوریتم استخراج ریشه انجام می شود؛ اگر این اتفاق نیفتد، پس مقدار این رقم 9 است.

اجازه دهید این نکات را با استفاده از همان مثال استخراج جذر پنج توضیح دهیم.

ابتدا مقدار عدد واحد را پیدا می کنیم. مقادیر 0، 1، 2، ...، 9 را به ترتیب با محاسبه 0 2، 1 2، ...، 9 2 طی می کنیم تا زمانی که مقداری بزرگتر از عدد رادیکال 5 به دست آوریم. ارائه تمام این محاسبات در قالب یک جدول راحت است:

بنابراین مقدار رقم واحد 2 است (از 2 2<5 , а 2 3 >5). بیایید به سراغ یافتن ارزش مکان دهم برویم. در این حالت، اعداد 2.0، 2.1، 2.2، ...، 2.9 را مربع می کنیم و مقادیر حاصل را با عدد رادیکال 5 مقایسه می کنیم:

از 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5، سپس مقدار مکان دهم 2 است. می توانید برای یافتن مقدار مکان صدم ادامه دهید:

به این ترتیب مقدار بعدی ریشه پنج پیدا شد که برابر با 2.23 است. و بنابراین می توانید به یافتن مقادیر ادامه دهید: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

برای تجمیع مطالب، استخراج ریشه را با دقت صدم با استفاده از الگوریتم در نظر گرفته شده تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

ابتدا مهم ترین رقم را تعیین می کنیم. برای این کار اعداد 0، 10، 100 و ... را مکعب می کنیم. تا زمانی که عددی بزرگتر از 2,151,186 بدست آوریم. ما 0 3 = 0 داریم<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186، بنابراین مهم ترین رقم رقم ده ها است.

بیایید ارزش آن را تعیین کنیم.

از 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186، سپس مقدار مکان ده ها 1 است. بریم سراغ واحدها.

بنابراین، مقدار یکان رقم 2 است. بریم سراغ دهمین.

از آنجایی که حتی 12.9 3 کمتر از عدد رادیکال 2 151.186 است، پس مقدار مکان دهم 9 است. باقی مانده است که آخرین مرحله الگوریتم را انجام دهیم؛ این مقدار ریشه را با دقت لازم به ما می دهد.

در این مرحله، مقدار ریشه به صدم مشخص می شود: .

در پایان این مقاله، می خواهم بگویم که راه های زیادی برای استخراج ریشه وجود دارد. اما برای اکثر وظایف، مواردی که در بالا مطالعه کردیم کافی هستند.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه هشتم. موسسات آموزشی
• کولموگروف A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. جبر و آغاز تحلیل: کتاب درسی پایه دهم تا یازدهم موسسات آموزش عمومی.
• گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).

مثال ها:

\(\sqrt(16)=2\)، از آنجا که \(2^4=16\)
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\) , زیرا \((-\frac(1)(5)) ^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)

چگونه ریشه n را محاسبه کنیم؟

برای محاسبه ریشه توان \(n\)ام، باید این سوال را از خود بپرسید: چه عددی به توان \(n\)ام در زیر ریشه داده می شود؟

مثلا. ریشه \(n\)امین را محاسبه کنید: a)\(\sqrt(16)\); ب) \(\sqrt(-64)\); ج) \(\sqrt(0.00001)\); د)\(\sqrt(8000)\); e) \(\sqrt(\frac(1)(81))\).

الف) چه عددی به توان \(4\) \(16\) می دهد؟ بدیهی است \(2\). از همین رو:

ب) چه عددی به توان \(3\) \(-64\) می دهد؟

\(\sqrt(-64)=-4\)

ج) چه عددی به توان \(5\) \(0.00001\) می دهد؟

\(\sqrt(0.00001)=0.1\)

د) چه عددی به توان \(3\) \(8000\) می دهد؟

\(\sqrt(8000)=20\)

ه) چه عددی به توان \(4\)امین \(\frac(1)(81)\) می دهد؟

\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)

ما ساده ترین مثال ها را با ریشه \(n\)ام بررسی کردیم. برای حل مسائل پیچیده تر با ریشه های درجه \(n\)ام، شناخت آنها حیاتی است.

مثال. محاسبه:

\(\sqrt 3\cdot \sqrt(-3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(9) -\) \(=\)		در حال حاضر هیچ یک از ریشه ها قابل محاسبه نیست. بنابراین، ویژگی های ریشه درجه \(n\) را اعمال می کنیم و عبارت را تبدیل می کنیم. \(\frac(\sqrt(-64))(\sqrt(2))\)\(=\)\(\sqrt(\frac(-64)(2))\) \(=\)\(\sqrt(-32)\) زیرا \(\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b))\)\(=\)\(\sqrt[n](\frac(a)(b))\)
\(=\sqrt(3)\cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(27)\cdot \sqrt(9)-\sqrt(-32)=\)		بیایید فاکتورهای عبارت اول را طوری مرتب کنیم که جذر و ریشه توان \(n\)ام در کنار هم باشند. این کار باعث می شود که به راحتی بتوانید ویژگی ها را اعمال کنید زیرا بیشتر خصوصیات ریشه های \(n\)ام فقط با ریشه های هم درجه کار می کنند. و بیایید ریشه 5 را محاسبه کنیم.
\(=\sqrt(3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(9)-(-5)=\)		ویژگی \(\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)=\sqrt[n](a\cdot b)\) را اعمال کنید و براکت را باز کنید
\(=\sqrt(81)\cdot \sqrt(-27)+5=\)		محاسبه \(\sqrt(81)\) و \(\sqrt(-27)\)
\(=9\cdot(-3)+5 =-27+5=-22\)

آیا ریشه n و جذر به هم مرتبط هستند؟

در هر صورت، هر ریشه ای از هر درجه ای فقط یک عدد است، البته به شکلی نوشته شده که برای شما ناآشنا است.

تکینگی ریشه n

ریشه درجه \(n\)ام با \(n\) فرد را می توان از هر عددی حتی منفی استخراج کرد (به مثال ها در ابتدا مراجعه کنید). اما اگر \(n\) زوج باشد (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)…)، آنگاه چنین ریشه ای تنها در صورتی استخراج می شود که \( a ≥ 0\) (به هر حال، همین امر در مورد ریشه دوم صدق می کند). این به این دلیل است که استخراج ریشه در مقابل افزایش قدرت است.

و افزایش به توان زوج حتی یک عدد منفی را مثبت می کند. در واقع، \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). بنابراین، نمی‌توانیم توان زوج یک عدد منفی را در زیر ریشه بدست آوریم. یعنی نمی توانیم چنین ریشه ای را از یک عدد منفی استخراج کنیم.

یک توان فرد چنین محدودیت هایی ندارد - یک عدد منفی که به یک توان فرد افزایش می یابد منفی می ماند: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (- 2) \ cdot (-2)=-32\). بنابراین، در زیر ریشه یک توان فرد می توانید یک عدد منفی دریافت کنید. به این معنی که امکان استخراج آن از یک عدد منفی نیز وجود دارد.