Extrakcia koreňov: metódy, metódy, riešenia. Technická kalkulačka Druhá odmocnina ako záporná mocnina
Znova som sa pozrel na tanier... A poďme!
Začnime s jednoduchým:
Počkaj minútu. toto, čo znamená, že to môžeme napísať takto:
Mám to? Tu je ďalší pre vás:
Korene výsledných čísel nie sú presne extrahované? Nebojte sa, tu je niekoľko príkladov:
Ale čo ak nie sú dva multiplikátory, ale viac? Rovnaký! Vzorec násobenia koreňov funguje s ľubovoľným počtom faktorov:
Teraz úplne nezávislé:
Odpovede: Výborne! Súhlasím, všetko je veľmi jednoduché, hlavnou vecou je poznať tabuľku násobenia!
Rozdelenie koreňov
Prišli sme na násobenie koreňov, teraz prejdime k vlastnosti delenia.
Dovoľte mi pripomenúť, že vzorec vo všeobecnosti vyzerá takto:
A to znamená koreň podielu sa rovná podielu koreňov.
Nuž, pozrime sa na príklady:
To je celá veda. A tu je príklad:
Všetko nie je také hladké ako v prvom príklade, ale ako vidíte, nie je nič zložité.
Čo ak výraz vyzerá takto:
Stačí použiť vzorec opačne:
A tu je príklad:
Môžete tiež vidieť tento výraz:
Všetko je rovnaké, len si tu musíte pamätať, ako preložiť zlomky (ak si nepamätáte, pozrite sa na tému a vráťte sa!). Spomenul si? Teraz sa rozhodneme!
Som si istý, že ste sa vyrovnali so všetkým, so všetkým, teraz sa skúsme do určitej miery zakoreniť.
Umocňovanie
Čo sa stane, ak je druhá odmocnina druhá mocnina? Je to jednoduché, zapamätajte si význam druhej odmocniny čísla – ide o číslo, ktorého druhá odmocnina sa rovná.
Ak teda odmocníme číslo, ktorého druhá odmocnina je rovnaká, čo potom dostaneme?
No, samozrejme,!
Pozrime sa na príklady:
Všetko je jednoduché, však? A ak je koreň v inom stupni? Je to v poriadku!
Držte sa rovnakej logiky a pamätajte na vlastnosti a možné akcie so schopnosťami.
Prečítajte si teóriu na tému „“ a všetko vám bude veľmi jasné.
Napríklad tu je výraz:
V tomto príklade je stupeň párny, ale čo ak je nepárny? Opäť použite výkonové vlastnosti a zohľadnite všetko:
S týmto sa zdá byť všetko jasné, ale ako extrahovať koreň z čísla v stupňoch? Tu je napríklad toto:
Celkom jednoduché, však? Čo ak je stupeň väčší ako dva? Postupujeme podľa rovnakej logiky pomocou vlastností stupňov:
No, je všetko jasné? Potom vyriešte svoje vlastné príklady:
A tu sú odpovede:
Úvod pod znakom koreňa
Čo sme sa len nenaučili robiť s koreňmi! Zostáva len precvičiť zadávanie čísla pod koreňovým znakom!
Je to celkom jednoduché!
Povedzme, že máme číslo
Čo s tým môžeme robiť? No, samozrejme, schovaj trojku pod odmocninu, pričom pamätaj, že trojka je druhá odmocnina z!
Prečo to potrebujeme? Áno, len pre rozšírenie našich možností pri riešení príkladov:
Ako sa vám páči táto vlastnosť koreňov? Zjednodušuje život? Pre mňa je to tak! Iba musíme si uvedomiť, že pod znamienko druhej odmocniny môžeme zadať iba kladné čísla.
Vyskúšajte tento príklad sami:
Zvládli ste to? Pozrime sa, čo by ste mali dostať:
Výborne! Podarilo sa vám zadať číslo pod znakom koreňa! Prejdime k niečomu rovnako dôležitému – zvážte, ako porovnávať čísla obsahujúce odmocninu!
Porovnanie koreňov
Prečo by sme sa mali naučiť porovnávať čísla obsahujúce odmocninu?
Veľmi jednoduché. Často vo veľkých a dlhých výrazoch, s ktorými sa stretneme pri skúške, dostaneme iracionálnu odpoveď (pamätáte si, čo to je? Už sme o tom dnes hovorili!)
Prijaté odpovede potrebujeme umiestniť na súradnicovú čiaru, aby sme napríklad určili, ktorý interval je vhodný na riešenie rovnice. A práve tu vzniká háčik: na skúške nie je kalkulačka a ako si bez nej predstaviť, ktoré číslo je väčšie a ktoré menšie? To je všetko!
Určte napríklad, čo je väčšie: alebo?
Nepovieš hneď. Využime vlastnosť parsovania pridania čísla pod znamienko koreňa?
Potom vpred:
Je zrejmé, že čím väčšie číslo pod znamienkom koreňa, tým väčší je samotný koreň!
Tie. ak znamená .
Z toho pevne usudzujeme A nikto nás nepresvedčí o opaku!
Extrahovanie koreňov z veľkého množstva
Predtým sme predstavili faktor pod znamienkom koreňa, ale ako ho odstrániť? Musíte to len vypočítať a extrahovať to, čo sa extrahuje!
Bolo možné ísť opačným smerom a rozložiť sa na ďalšie faktory:
Nie je to zlé, však? Ktorýkoľvek z týchto prístupov je správny, rozhodnite sa, ako sa cítite pohodlne.
Faktoring je veľmi užitočný pri riešení takýchto neštandardných úloh, ako je táto:
My sa nebojíme, konáme! Každý faktor pod koreňom rozložíme na samostatné faktory:
A teraz si to vyskúšajte sami (bez kalkulačky! Na skúške to nebude):
Je toto koniec? Nezastavíme sa na polceste!
To je všetko, nie je to také strašidelné, však?
Stalo? Výborne, máš pravdu!
Teraz skúste tento príklad:
A príklad je tvrdý oriešok, takže nemôžete okamžite prísť na to, ako k nemu pristupovať. Ale my sme, samozrejme, v zuboch.
No, začnime faktoring, nie? Okamžite si všimneme, že číslo môžete deliť (spomeňte si na znaky deliteľnosti):
A teraz to skúste sami (opäť bez kalkulačky!):
No podarilo sa? Výborne, máš pravdu!
Zhrnutie
- Druhá odmocnina (aritmetická odmocnina) nezáporného čísla je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná.
. - Ak len vezmeme druhú odmocninu niečoho, vždy dostaneme jeden nezáporný výsledok.
- Vlastnosti aritmetického koreňa:
- Pri porovnávaní druhých odmocnín treba pamätať na to, že čím väčšie číslo pod znamienkom odmocniny, tým väčší je samotný odmocninec.
Ako sa vám páči druhá odmocnina? Všetko jasné?
Snažili sme sa vám bez vody vysvetliť všetko, čo potrebujete vedieť na skúške o druhej odmocnine.
Si na ťahu. Napíšte nám, či je pre vás táto téma náročná alebo nie.
Naučili ste sa niečo nové alebo už bolo všetko také jasné.
Napíšte do komentárov a veľa šťastia na skúškach!
Zverejnené na našej webovej stránke. Extrakcia odmocniny čísla sa často používa pri rôznych výpočtoch a naša kalkulačka je výborným nástrojom na takéto matematické výpočty.
Online kalkulačka s koreňmi vám umožní rýchlo a jednoducho vykonať akékoľvek výpočty obsahujúce extrakciu koreňov. Tretia odmocnina sa dá vypočítať rovnako ľahko ako druhá odmocnina čísla, odmocnina zo záporného čísla, odmocnina z komplexného čísla, odmocnina z pí atď.
Výpočet odmocniny čísla je možný manuálne. Ak je možné vypočítať celočíselnú odmocninu čísla, potom jednoducho nájdeme hodnotu koreňového výrazu z tabuľky koreňov. V iných prípadoch sa približný výpočet koreňov redukuje na rozšírenie koreňového výrazu na súčin jednoduchších faktorov, ktorými sú mocniny a možno ich odstrániť z koreňového znamienka, čím sa výraz pod koreňom čo najviac zjednoduší.
Ale nemali by ste používať takéto koreňové riešenie. A preto. Po prvé, musíte stráviť veľa času takýmito výpočtami. Čísla v koreni alebo skôr výrazy môžu byť dosť zložité a stupeň nemusí byť nevyhnutne kvadratický alebo kubický. Po druhé, presnosť takýchto výpočtov nie je vždy splnená. A do tretice existuje online kalkulačka koreňov, ktorá za vás urobí akúkoľvek extrakciu koreňov v priebehu niekoľkých sekúnd.
Extrahovať koreň z čísla znamená nájsť číslo, ktoré sa po umocnení n bude rovnať hodnote koreňového výrazu, kde n je stupeň odmocniny a samotné číslo je základom koreň. Koreň 2. stupňa sa nazýva jednoduchý alebo štvorcový a koreň tretieho stupňa sa nazýva kubický, pričom v oboch prípadoch sa vynecháva označenie stupňa.
Riešenie koreňov v online kalkulačke spočíva v napísaní matematického výrazu do vstupného riadku. Extrakcia z koreňa v kalkulačke je označená ako sqrt a vykonáva sa pomocou troch kláves - extrahovanie druhej odmocniny sqrt(x), extrakcia kubickej odmocniny sqrt3(x) a extrakcia odmocniny z n stupňa sqrt(x,y) . Podrobnejšie informácie o ovládacom paneli sú uvedené na stránke.
Extrahovanie druhej odmocniny
Stlačením tohto tlačidla sa do vstupného riadku vloží odmocnina: sqrt(x), stačí zadať výraz odmocniny a uzavrieť zátvorku.
Príklad riešenia druhých odmocnín v kalkulačke:
Ak je odmocninou záporné číslo a stupeň odmocniny je párny, potom bude odpoveď reprezentovaná ako komplexné číslo s imaginárnou jednotkou i.
Druhá odmocnina záporného čísla:
Tretí koreň
Tento kľúč použite, keď potrebujete vypočítať odmocninu kocky. Do vstupného riadku vloží záznam sqrt3(x).
Koreň 3. stupňa:
Koreň stupňa n
Prirodzene, online odmocnina vám umožňuje extrahovať nielen druhú mocninu a odmocninu čísla, ale aj odmocninu zo stupňa n. Stlačením tohto tlačidla sa zobrazí záznam v tvare sqrt(x x,y).
Koreň 4. stupňa:
Presnú n-tú odmocninu čísla možno získať iba vtedy, ak je samotné číslo presnou n-tou mocninou. V opačnom prípade sa výpočet ukáže ako približný, aj keď veľmi blízko ideálu, pretože presnosť výpočtov online kalkulačky dosahuje 14 desatinných miest.
Piaty koreň s približným výsledkom:
Koreň zlomku
Kalkulačka dokáže vypočítať koreň z rôznych čísel a výrazov. Nájdenie koreňa zlomku spočíva v oddelenom extrahovaní koreňa z čitateľa a menovateľa.
Druhá odmocnina zlomku:
koreň od koreňa
V prípadoch, keď je koreň výrazu pod koreňom, podľa vlastnosti koreňov môžu byť nahradené jedným koreňom, ktorého stupeň sa bude rovnať súčinu stupňov oboch. Jednoducho povedané, na extrahovanie koreňa z koreňa stačí vynásobiť exponenty koreňov. V príklade znázornenom na obrázku možno výraz tretieho stupňa koreňa druhého stupňa nahradiť jedným koreňom 6. stupňa. Zadajte výraz, ako chcete. V každom prípade kalkulačka vypočíta všetko správne.
Gratulujeme: dnes budeme analyzovať korene - jednu z najzaujímavejších tém 8. ročníka. :)
Mnoho ľudí je zmätených v súvislosti s koreňmi nie preto, že sú zložité (čo je komplikované – pár definícií a pár ďalších vlastností), ale preto, že vo väčšine školských učebníc sú korene definované takými divočinami, že to dokážu len samotní autori učebníc. pochopiť toto čmáranie. A aj to len s fľašou dobrej whisky. :)
Preto teraz uvediem najsprávnejšiu a najkompetentnejšiu definíciu koreňa - jedinú, ktorú si skutočne musíte zapamätať. A až potom vysvetlím: prečo je to všetko potrebné a ako to aplikovať v praxi.
Najprv si však zapamätajte jeden dôležitý bod, na ktorý z nejakého dôvodu mnohí zostavovatelia učebníc „zabudnú“:
Korene môžu byť párneho stupňa (naše obľúbené $\sqrt(a)$, ako aj ľubovoľné $\sqrt(a)$ a párne $\sqrt(a)$) a nepárne (ľubovoľné $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ atď.). A definícia koreňa nepárneho stupňa je trochu odlišná od párneho.
Tu v tomto skurvenom „trochu iné“ sa skrýva pravdepodobne 95% všetkých chýb a nedorozumení spojených s koreňmi. Poďme si teda raz a navždy ujasniť terminológiu:
Definícia. Dokonca aj koreň n od čísla $a$ je ľubovoľný nezápornéčíslo $b$ také, že $((b)^(n))=a$. A koreň nepárneho stupňa z rovnakého čísla $a$ je vo všeobecnosti akékoľvek číslo $b$, pre ktoré platí rovnaká rovnosť: $((b)^(n))=a$.
V každom prípade je koreň označený takto:
\(a)\]
Číslo $n$ v takomto zápise sa nazýva koreňový exponent a číslo $a$ sa nazýva radikálny výraz. Konkrétne pre $n=2$ dostaneme našu „obľúbenú“ druhú odmocninu (mimochodom, toto je odmocnina párneho stupňa) a pre $n=3$ dostaneme kubickú odmocninu (nepárny stupeň), ktorý sa tiež často nachádza v úlohách a rovniciach.
Príklady. Klasické príklady odmocnin:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(zarovnať)\]
Mimochodom, $\sqrt(0)=0$ a $\sqrt(1)=1$. Je to celkom logické, keďže $((0)^(2))=0$ a $((1)^(2))=1$.
Časté sú aj kubické korene - nebojte sa ich:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(zarovnať)\]
No, pár "exotických príkladov":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(zarovnať)\]
Ak nerozumiete, aký je rozdiel medzi párnym a nepárnym stupňom, prečítajte si definíciu ešte raz. Je to veľmi dôležité!
Medzitým sa pozrieme na jednu nepríjemnú vlastnosť koreňov, kvôli ktorej sme potrebovali zaviesť samostatnú definíciu pre párne a nepárne exponenty.
Prečo vôbec potrebujeme korene?
Po prečítaní definície sa mnohí študenti opýtajú: „Čo matematici fajčili, keď na to prišli? A naozaj: prečo potrebujeme všetky tieto korene?
Aby sme odpovedali na túto otázku, vráťme sa na chvíľu do základnej školy. Pamätajte: v tých vzdialených časoch, keď boli stromy zelenšie a halušky chutnejšie, nám išlo hlavne o to správne vynásobiť čísla. No niečo v duchu „päť na päť – dvadsaťpäť“, to je všetko. Čísla však môžete násobiť nie v pároch, ale v trojiciach, štvoriciach a vo všeobecnosti v celých súboroch:
\[\začiatok(zarovnanie) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
O to však nejde. Trik je iný: matematici sú leniví ľudia, preto museli násobenie desiatich pätiek zapísať takto:
Tak prišli na rad. Prečo nenapísať počet faktorov ako horný index namiesto dlhého reťazca? Ako tento:
Je to veľmi pohodlné! Všetky výpočty sú niekoľkokrát zredukované a nemôžete minúť veľa listov pergamenových zošitov na napísanie nejakých 5 183 . Takýto záznam sa nazýval stupeň čísla, našlo sa v ňom veľa vlastností, ale šťastie sa ukázalo byť krátkodobé.
Po grandióznom chlastaní, ktoré bolo zorganizované len o „objavení“ stupňov, sa nejaký obzvlášť očarený matematik zrazu opýtal: „Čo ak poznáme stupeň čísla, ale nepoznáme samotné číslo? V skutočnosti, ak vieme, že napríklad určité číslo $b$ dáva 243 5. mocnine, ako potom môžeme uhádnuť, čomu sa rovná samotné číslo $b$?
Tento problém sa ukázal byť oveľa globálnejší, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať. Pretože sa ukázalo, že pre väčšinu „hotových“ stupňov takéto „počiatočné“ čísla neexistujú. Veď posúďte sami:
\[\začiatok(zarovnanie) & ((b)^(3))=27\šípka doprava b=3\cbodka 3\cbodka 3\šípka doprava b=3; \\ & ((b)^(3))=64\šípka doprava b=4\cbodka 4\cbodka 4\šípka doprava b=4. \\ \end(zarovnať)\]
Čo ak $((b)^(3))=50 $? Ukazuje sa, že musíte nájsť určité číslo, ktoré, keď sa vynásobí trikrát, nám dá 50. Čo je to však za číslo? Je jednoznačne väčšie ako 3, pretože 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. T.j. toto číslo leží niekde medzi tromi a štyrmi, ale čomu sa rovná - Obr pochopíte.
To je presne dôvod, prečo matematici prišli s $n$-tým koreňom. Preto bola predstavená radikálna ikona $\sqrt(*)$. Na označenie rovnakého čísla $b$, ktoré nám pri zadanej mocnine poskytne predtým známu hodnotu
\[\sqrt[n](a)=b\šípka doprava ((b)^(n))=a\]
Netvrdím: tieto korene sa často ľahko zvažujú - vyššie sme videli niekoľko takýchto príkladov. Ale aj tak, vo väčšine prípadov, ak si spomeniete na ľubovoľné číslo a potom sa z neho pokúsite extrahovať koreň ľubovoľného stupňa, čaká vás krutý problém.
Čo je tam! Dokonca ani najjednoduchšie a najznámejšie $\sqrt(2)$ nemôže byť reprezentované v našej bežnej forme - ako celé číslo alebo zlomok. A ak zadáte toto číslo do kalkulačky, uvidíte toto:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Ako vidíte, za desatinnou čiarkou je nekonečná postupnosť čísel, ktoré sa neriadia žiadnou logikou. Toto číslo môžete samozrejme zaokrúhliť, aby ste ho mohli rýchlo porovnať s inými číslami. Napríklad:
\[\sqrt(2)=1,4142...\približne 1,4 \lt 1,5\]
Alebo tu je ďalší príklad:
\[\sqrt(3)=1,73205...\približne 1,7 \gt 1,5\]
Ale všetky tieto zaoblenia sú po prvé dosť hrubé; a po druhé, musíte vedieť pracovať aj s približnými hodnotami, inak môžete zachytiť kopu nezjavných chýb (mimochodom, zručnosť porovnávania a zaokrúhľovania sa nevyhnutne kontroluje na profilovej skúške).
Preto sa vo serióznej matematike bez koreňov nezaobídeme – sú to rovnakí rovnakí zástupcovia množiny všetkých reálnych čísel $\mathbb(R)$, ako zlomky a celé čísla, ktoré už dávno poznáme.
Nemožnosť reprezentovať koreň ako zlomok tvaru $\frac(p)(q)$ znamená, že tento koreň nie je racionálne číslo. Takéto čísla sa nazývajú iracionálne a nie je možné ich presne znázorniť inak ako pomocou radikálu alebo iných na to špeciálne navrhnutých konštrukcií (logaritmy, stupne, limity atď.). Ale o tom viac inokedy.
Zvážte niekoľko príkladov, kde po všetkých výpočtoch zostanú v odpovedi stále iracionálne čísla.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\cca 2 236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\približne -1,2599... \\ \end(align)\]
Prirodzene, podľa vzhľadu koreňa je takmer nemožné uhádnuť, ktoré čísla budú nasledovať za desatinnou čiarkou. Dá sa však počítať na kalkulačke, no aj tá najpokročilejšia dátumová kalkulačka nám dá len prvých pár číslic iracionálneho čísla. Preto je oveľa správnejšie písať odpovede ako $\sqrt(5)$ a $\sqrt(-2)$.
Na to boli vymyslení. Aby sa vám ľahšie zapisovali odpovede.
Prečo sú potrebné dve definície?
Pozorný čitateľ si už zrejme všimol, že všetky odmocniny uvedené v príkladoch sú prevzaté z kladných čísel. Teda aspoň od nuly. Kocky sú však pokojne extrahované z absolútne ľubovoľného čísla - dokonca aj pozitívneho, dokonca aj negatívneho.
Prečo sa to deje? Pozrite sa na graf funkcie $y=((x)^(2))$:
Graf kvadratickej funkcie dáva dva korene: kladný a záporný Skúsme vypočítať $\sqrt(4)$ pomocou tohto grafu. Na tento účel je na grafe nakreslená vodorovná čiara $y=4$ (označená červenou farbou), ktorá pretína parabolu v dvoch bodoch: $((x)_(1))=2$ a $((x) _(2)) = -2 $. Je to celkom logické, keďže
S prvým číslom je všetko jasné - je kladné, preto je to koreň:
Ale čo potom robiť s druhým bodom? Má tá 4ka dva korene naraz? Ak totiž odmocníme číslo −2, dostaneme aj 4. Prečo teda nenapísať $\sqrt(4)=-2$? A prečo sa učitelia pozerajú na takéto záznamy, akoby ťa chceli zjesť? :)
Problém je v tom, že ak sa neuložia žiadne ďalšie podmienky, štyri budú mať dve odmocniny – kladnú a zápornú. A každé kladné číslo ich bude mať aj dve. Ale záporné čísla nebudú mať vôbec korene - to je možné vidieť z toho istého grafu, pretože parabola nikdy neklesne pod os r, t.j. nenadobúda záporné hodnoty.
Podobný problém sa vyskytuje pre všetky korene s párnym exponentom:
- Presne povedané, každé kladné číslo bude mať dva korene s párnym exponentom $n$;
- Zo záporných čísel sa odmocnina s párnym $n$ vôbec nevytiahne.
To je dôvod, prečo definícia párneho koreňa $n$ špecificky stanovuje, že odpoveď musí byť nezáporné číslo. Takto sa zbavíme nejednoznačnosti.
Ale pre nepárnych $n$ takýto problém neexistuje. Aby sme to videli, pozrime sa na graf funkcie $y=((x)^(3))$:
Kubická parabola nadobúda ľubovoľnú hodnotu, takže odmocnina kocky môže byť prevzatá z ľubovoľného čísla Z tohto grafu možno vyvodiť dva závery:
- Vetvy kubickej paraboly, na rozdiel od bežnej, idú do nekonečna v oboch smeroch - hore aj dole. Preto, v akejkoľvek výške nakreslíme vodorovnú čiaru, táto čiara sa bude určite pretínať s naším grafom. Preto je možné vždy odobrať odmocninu, absolútne z akéhokoľvek čísla;
- Okrem toho bude takáto križovatka vždy jedinečná, takže nemusíte premýšľať o tom, ktoré číslo považovať za „správny“ koreň a ktoré bodovať. Preto je definícia koreňov pre nepárny stupeň jednoduchšia ako pre párny (neexistuje požiadavka na nezápornosť).
Škoda, že tieto jednoduché veci nie sú vo väčšine učebníc vysvetlené. Namiesto toho náš mozog začne stúpať so všetkými druhmi aritmetických koreňov a ich vlastností.
Áno, nehovorím: čo je aritmetický koreň - musíte tiež vedieť. A o tom budem podrobne hovoriť v samostatnej lekcii. Dnes si o nej povieme tiež, pretože bez nej by boli všetky úvahy o koreňoch $n$-tej násobnosti neúplné.
Najprv však musíte jasne pochopiť definíciu, ktorú som uviedol vyššie. V opačnom prípade sa vám kvôli hojnosti pojmov začne v hlave taký chaos, že nakoniec nebudete rozumieť vôbec ničomu.
A všetko, čo potrebujete pochopiť, je rozdiel medzi párnymi a nepárnymi číslami. Preto opäť zhromaždíme všetko, čo skutočne potrebujete vedieť o koreňoch:
- Párny koreň existuje len od nezáporného čísla a sám je vždy nezáporným číslom. Pre záporné čísla nie je takýto koreň definovaný.
- Ale koreň nepárneho stupňa existuje z ľubovoľného čísla a sám o sebe môže byť ľubovoľným číslom: pre kladné čísla je kladný a pre záporné čísla, ako naznačuje viečko, záporný.
Je to zložité? Nie, nie je to ťažké. To je jasné? Áno, je to zrejmé! Preto si teraz trochu precvičíme s výpočtami.
Základné vlastnosti a obmedzenia
Korene majú veľa zvláštnych vlastností a obmedzení - toto bude samostatná lekcia. Preto teraz zvážime iba najdôležitejší "čip", ktorý sa vzťahuje iba na korene s párnym exponentom. Túto vlastnosť zapíšeme vo forme vzorca:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\vpravo|\]
Inými slovami, ak umocníme číslo na párnu mocninu a potom z nej vyberieme odmocninu rovnakého stupňa, nedostaneme pôvodné číslo, ale jeho modul. Toto je jednoduchá veta, ktorá sa dá ľahko dokázať (stačí zvážiť samostatne nezáporné $x$ a potom samostatne zvážiť negatívne). Učitelia o tom neustále hovoria, je to uvedené v každej školskej učebnici. No akonáhle príde na riešenie iracionálnych rovníc (t. j. rovníc obsahujúcich znamienko radikálu), žiaci tento vzorec razom zabudnú.
Aby sme problém pochopili dopodrobna, zabudnime na minútu všetky vzorce a skúsme spočítať dve čísla dopredu:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
Toto sú veľmi jednoduché príklady. Prvý príklad bude vyriešený väčšinou ľudí, ale na druhý sa mnohí držia. Aby ste takéto svinstvo vyriešili bez problémov, vždy zvážte postup:
- Najprv sa číslo zvýši na štvrtú mocninu. No je to akési jednoduché. Získa sa nové číslo, ktoré možno dokonca nájsť v tabuľke násobenia;
- A teraz z tohto nového čísla je potrebné extrahovať koreň štvrtého stupňa. Tie. nedochádza k "zníženiu" koreňov a stupňov - ide o postupné akcie.
Poďme sa zaoberať prvým výrazom: $\sqrt(((3)^(4)))$. Je zrejmé, že najprv musíte vypočítať výraz pod koreňom:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Potom extrahujeme štvrtý koreň čísla 81:
Teraz urobme to isté s druhým výrazom. Najprv zvýšime číslo −3 na štvrtú mocninu, pre ktorú ho musíme vynásobiť 4-krát:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ vľavo(-3 \vpravo)=81\]
Dostali sme kladné číslo, keďže celkový počet mínusov v produkte sú 4 kusy a všetky sa navzájom vyrušia (napokon mínus o mínus dáva plus). Potom znova extrahujte koreň:
Tento riadok sa v zásade nedal napísať, keďže nie je jasné, že odpoveď bude rovnaká. Tie. párny koreň tej istej párnej sily „vypáli“ mínusy a v tomto zmysle je výsledok na nerozoznanie od bežného modulu:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\vpravo|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \vpravo|=3. \\ \end(zarovnať)\]
Tieto výpočty sú v dobrej zhode s definíciou odmocniny párneho stupňa: výsledok je vždy nezáporný a radikálne znamienko je tiež vždy nezáporné číslo. V opačnom prípade nie je koreň definovaný.
Poznámka k poradiu operácií
- Zápis $\sqrt(((a)^(2)))$ znamená, že najprv odmocníme číslo $a$ a potom vezmeme druhú odmocninu z výslednej hodnoty. Preto si môžeme byť istí, že nezáporné číslo vždy leží pod znamienkom koreňa, pretože $((a)^(2))\ge 0$ aj tak;
- No zápis $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ naopak znamená, že najskôr vytiahneme odmocninu z určitého čísla $a$ a až potom výsledok odmocníme. Preto číslo $a$ v žiadnom prípade nemôže byť záporné - je to povinná požiadavka zakotvená v definícii.
V žiadnom prípade by sa teda nemali bezmyšlienkovite zmenšovať korene a stupne, čím sa vraj „zjednodušuje“ pôvodný výraz. Pretože ak je pod odmocninou záporné číslo a jeho exponent je párny, dostaneme veľa problémov.
Všetky tieto problémy sú však relevantné len pre párne ukazovatele.
Odstránenie znamienka mínus spod koreňového znamienka
Prirodzene, korene s nepárnymi exponentmi majú tiež svoju vlastnosť, ktorá v zásade neexistuje pre párne. menovite:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Stručne povedané, môžete vytiahnuť mínus pod znakom koreňov nepárneho stupňa. Toto je veľmi užitočná vlastnosť, ktorá vám umožní „vyhodiť“ všetky mínusy:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]
Táto jednoduchá vlastnosť výrazne zjednodušuje mnohé výpočty. Teraz sa už nemusíte obávať: čo ak sa negatívny výraz dostal pod koreň a stupeň pri koreni sa ukázal byť párny? Všetky mínusy stačí „vyhodiť“ mimo koreňov, potom sa môžu navzájom množiť, deliť a celkovo robiť veľa podozrivých vecí, ktoré nás v prípade „klasických“ koreňov zaručene privedú k omylu. .
A tu vstupuje na scénu ďalšia definícia – práve tá, s ktorou väčšina škôl začína štúdium iracionálnych výrazov. A bez toho by naša úvaha bola neúplná. Zoznámte sa!
aritmetický koreň
Predpokladajme na chvíľu, že pod znamienkom koreňa môžu byť iba kladné čísla alebo v extrémnych prípadoch nula. Bodujme na párnych / nepárnych ukazovateľoch, bodujme na všetkých vyššie uvedených definíciách - budeme pracovať len s nezápornými číslami. Čo potom?
A potom dostaneme aritmetický koreň - čiastočne sa pretína s našimi "štandardnými" definíciami, ale stále sa od nich líši.
Definícia. Aritmetický koreň $n$-tého stupňa nezáporného čísla $a$ je nezáporné číslo $b$ také, že $((b)^(n))=a$.
Ako vidíte, parita nás už nezaujíma. Namiesto toho sa objavilo nové obmedzenie: radikálny výraz je teraz vždy nezáporný a samotný koreň je tiež nezáporný.
Aby ste lepšie pochopili, ako sa aritmetický koreň líši od bežného, pozrite sa na grafy štvorcovej a kubickej paraboly, ktoré už poznáme:
Oblasť vyhľadávania koreňov - nezáporné čísla Ako vidíte, odteraz nás zaujímajú len tie časti grafov, ktoré sa nachádzajú v prvej súradnicovej štvrtine – kde sú súradnice $x$ a $y$ kladné (alebo aspoň nulové). Už sa nemusíte pozerať na indikátor, aby ste pochopili, či máme právo odmocniť záporné číslo alebo nie. Pretože so zápornými číslami sa už v zásade nepočíta.
Môžete sa opýtať: "No, prečo potrebujeme takú kastrovanú definíciu?" Alebo: "Prečo si nemôžeme vystačiť so štandardnou definíciou uvedenou vyššie?"
Uvediem len jednu vlastnosť, kvôli ktorej sa nová definícia stáva vhodnou. Napríklad pravidlo umocňovania:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Poznámka: radikálny výraz môžeme zvýšiť na ľubovoľnú mocninu a zároveň vynásobiť koreňový exponent rovnakou mocninou – a výsledkom bude rovnaké číslo! Tu je niekoľko príkladov:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]
No čo je na tom zlé? Prečo sme to nemohli urobiť skôr? Tu je dôvod. Uvažujme jednoduchý výraz: $\sqrt(-2)$ je číslo, ktoré je v našom klasickom zmysle celkom normálne, ale z hľadiska aritmetického koreňa absolútne neprijateľné. Skúsme to previesť:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Ako vidíte, v prvom prípade sme vybrali mínus spod radikálu (máme plné právo, pretože indikátor je nepárny) av druhom prípade sme použili vyššie uvedený vzorec. Tie. z pohľadu matematiky sa všetko robí podľa pravidiel.
WTF?! Ako môže byť rovnaké číslo kladné aj záporné? V žiadnom prípade. Ide len o to, že vzorec umocňovania, ktorý funguje skvele pre kladné čísla a nulu, začína v prípade záporných čísel dávať úplnú herézu.
Tu, aby sa zbavili takejto nejednoznačnosti, prišli s aritmetickými koreňmi. Je im venovaná samostatná veľká lekcia, kde podrobne zvážime všetky ich vlastnosti. Takže teraz sa nimi nebudeme zaoberať - lekcia sa aj tak ukázala ako príliš dlhá.
Algebraický koreň: pre tých, ktorí chcú vedieť viac
Dlho som premýšľal: urobiť túto tému v samostatnom odseku alebo nie. Nakoniec som sa rozhodol odísť odtiaľto. Tento materiál je určený pre tých, ktorí chcú ešte lepšie pochopiť korene - už nie na priemernej „školskej“ úrovni, ale na úrovni blízkej olympiáde.
Takže: okrem „klasickej“ definície koreňa $n$-tého stupňa z čísla a s tým spojeného delenia na párne a nepárne ukazovatele existuje aj „dospelejšia“ definícia, ktorá nezávisí od parity a iné jemnosti vôbec. Toto sa nazýva algebraický koreň.
Definícia. Algebraická $n$-tá odmocnina ľubovoľného $a$ je množina všetkých čísel $b$ takých, že $((b)^(n))=a$. Pre takéto korene neexistuje dobre zavedené označenie, takže navrch stačí dať pomlčku:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\vľavo\( b\vľavo| b\v \mathbb(R);((b)^(n))=a \vpravo. \vpravo\) \]
Zásadný rozdiel oproti štandardnej definícii uvedenej na začiatku lekcie je v tom, že algebraický koreň nie je konkrétne číslo, ale množina. A keďže pracujeme s reálnymi číslami, táto množina je len troch typov:
- Prázdna súprava. Vyskytuje sa, keď je potrebné nájsť algebraický koreň párneho stupňa zo záporného čísla;
- Sada pozostávajúca z jedného prvku. Do tejto kategórie spadajú všetky korene nepárnych mocnín, ako aj odmocniny párnych mocnín od nuly;
- Nakoniec môže množina obsahovať dve čísla – rovnaké $((x)_(1))$ a $((x)_(2))=-((x)_(1))$, ktoré sme videli na graf kvadratická funkcia. V súlade s tým je takéto zarovnanie možné len pri extrakcii odmocniny párneho stupňa z kladného čísla.
Posledný prípad si zaslúži podrobnejšie posúdenie. Poďme si spočítať pár príkladov, aby sme pochopili rozdiel.
Príklad. Vypočítajte výrazy:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Riešenie. Prvý výraz je jednoduchý:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
Sú to dve čísla, ktoré sú súčasťou sady. Pretože každá z nich na druhú dáva štvorku.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
Tu vidíme množinu pozostávajúcu iba z jedného čísla. Je to celkom logické, keďže exponent odmocniny je nepárny.
Nakoniec posledný výraz:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Máme prázdny set. Pretože neexistuje jediné reálne číslo, ktoré nám po zvýšení na štvrtú (čiže párnu!) mocninu dá záporné číslo −16.
Poznámka na záver. Poznámka: nie náhodou som všade poznamenal, že pracujeme s reálnymi číslami. Pretože existujú aj komplexné čísla - je tam celkom možné vypočítať $\sqrt(-16)$ a mnoho ďalších podivných vecí.
V moderných školských osnovách matematiky sa však komplexné čísla takmer nikdy nenachádzajú. Z väčšiny učebníc boli vynechané, pretože naši úradníci považujú túto tému za „príliš ťažké na pochopenie“.
To je všetko. V ďalšej lekcii sa pozrieme na všetky kľúčové vlastnosti koreňov a nakoniec sa naučíme, ako zjednodušiť iracionálne výrazy. :)
Je čas rozobrať metódy extrakcie koreňov. Sú založené na vlastnostiach koreňov, najmä na rovnosti, ktorá platí pre každé nezáporné číslo b.
Nižšie sa budeme zaoberať hlavnými metódami extrakcie koreňov.
Začnime s najjednoduchším prípadom - extrahovanie koreňov z prirodzených čísel pomocou tabuľky štvorcov, tabuľky kociek atď.
Ak sú tabuľky štvorcov, kociek atď. nie je po ruke, je logické použiť metódu extrakcie koreňa, ktorá zahŕňa rozklad koreňového čísla na jednoduché faktory.
Samostatne stojí za to prebývať, čo je možné pre korene s nepárnymi exponentmi.
Nakoniec zvážte metódu, ktorá vám umožní postupne nájsť číslice hodnoty koreňa.
Začnime.
Pomocou tabuľky štvorcov, tabuľky kociek atď.
V najjednoduchších prípadoch umožňujú extrakciu koreňov tabuľky štvorcov, kociek atď. Čo sú to za tabuľky?
Tabuľka druhých mocnín celých čísel od 0 do 99 vrátane (zobrazená nižšie) pozostáva z dvoch zón. Prvá zóna tabuľky je umiestnená na sivom pozadí, výberom určitého riadku a určitého stĺpca umožňuje vytvoriť číslo od 0 do 99. Vyberme napríklad riadok s 8 desiatkami a stĺpec s 3 jednotkami, čím sme opravili číslo 83. Druhá zóna zaberá zvyšok tabuľky. Každá z jeho buniek sa nachádza na priesečníku určitého riadku a určitého stĺpca a obsahuje druhú mocninu príslušného čísla od 0 do 99 . Na priesečníku nami zvoleného radu 8 desiatok a stĺpca 3 jednej je bunka s číslom 6889, čo je druhá mocnina čísla 83.
Tabuľky kociek, tabuľky štvrtých mocnín čísel od 0 do 99 a tak ďalej sú podobné tabuľke štvorcov, len v druhej zóne obsahujú kocky, štvrté mocniny atď. zodpovedajúce čísla.
Tabuľky štvorcov, kociek, štvrtej mocniny atď. umožňujú extrahovať odmocniny, kocky, štvrté odmocniny atď. z čísel v týchto tabuľkách. Vysvetlime si princíp ich aplikácie pri extrakcii koreňov.
Povedzme, že potrebujeme extrahovať koreň n-tého stupňa z čísla a, pričom číslo a je obsiahnuté v tabuľke n-tých stupňov. Podľa tejto tabuľky nájdeme číslo b také, že a=b n . Potom 
, preto číslo b bude želaným koreňom n-tého stupňa.
Ako príklad si ukážeme, ako sa odmocnina z roku 19683 extrahuje pomocou tabuľky kociek. V tabuľke kociek nájdeme číslo 19 683, z nej zistíme, že toto číslo je kockou čísla 27, teda 
.
Je zrejmé, že tabuľky n-tých stupňov sú veľmi vhodné pri extrakcii koreňov. Často však nie sú po ruke a ich zostavenie si vyžaduje určitý čas. Okrem toho je často potrebné extrahovať korene z čísel, ktoré nie sú obsiahnuté v príslušných tabuľkách. V týchto prípadoch sa musíte uchýliť k iným metódam extrakcie koreňov.
Rozklad koreňového čísla na prvočiniteľa
Pomerne pohodlný spôsob, ako extrahovať koreň z prirodzeného čísla (ak je, samozrejme, koreň extrahovaný), je rozložiť číslo koreňa na prvočísla. Jeho podstata je nasledovná: potom je celkom ľahké ho reprezentovať ako stupeň s požadovaným ukazovateľom, ktorý vám umožňuje získať hodnotu koreňa. Vysvetlime si tento bod.
Nech je koreň n-tého stupňa extrahovaný z prirodzeného čísla a a jeho hodnota sa rovná b. V tomto prípade platí rovnosť a=b n. Číslo b ako ľubovoľné prirodzené číslo môže byť reprezentované ako súčin všetkých jeho prvočiniteľov p 1 , p 2 , …, p m v tvare p 1 p 2 … p m a koreňové číslo a je v tomto prípade reprezentované ako (p 1 p 2 ... p m) n . Keďže rozklad čísla na prvočísla je jedinečný, rozklad čísla odmocniny a na prvočísla bude vyzerať takto (p 1 ·p 2 ·...·p m) n , čo umožňuje vypočítať hodnotu odmocniny ako .
Všimnite si, že ak rozklad koreňového čísla a nemožno znázorniť v tvare (p 1 ·p 2 ·...·p m) n , potom koreň n-tého stupňa z takého čísla a nie je úplne extrahovaný.
Vyrovnajme sa s tým pri riešení príkladov.
Príklad.
Vezmite druhú odmocninu zo 144 .
Riešenie.
Ak sa pozrieme na tabuľku štvorcov uvedenú v predchádzajúcom odseku, je jasne vidieť, že 144=12 2 , z čoho je zrejmé, že druhá odmocnina zo 144 je 12.
Ale vo svetle tohto bodu nás zaujíma, ako sa koreň extrahuje rozkladom koreňa číslo 144 na prvočísla. Poďme sa pozrieť na toto riešenie.
Poďme sa rozložiť 144 k hlavným faktorom:
To znamená, 144 = 2 2 2 2 3 3 . Na základe výsledného rozkladu je možné vykonať nasledujúce transformácie: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. teda 
.
Pomocou vlastností stupňa a vlastností koreňov by sa riešenie dalo formulovať trochu inak: .
odpoveď:
Na upevnenie materiálu zvážte riešenia dvoch ďalších príkladov.
Príklad.
Vypočítajte koreňovú hodnotu.
Riešenie.
Prvočíslo odmocniny 243 je 243=3 5 . teda 
.
odpoveď:
Príklad.
Je hodnota koreňa celé číslo?
Riešenie.
Aby sme odpovedali na túto otázku, rozložme koreňové číslo na prvočísla a uvidíme, či ho možno reprezentovať ako kocku celého čísla.
Máme 285 768=2 3 3 6 7 2 . Výsledný rozklad nie je reprezentovaný ako kocka celého čísla, pretože stupeň prvočiniteľa 7 nie je násobkom troch. Preto sa odmocnina 285 768 neberie úplne.
odpoveď:
Nie
Extrahovanie koreňov z zlomkových čísel
Je čas zistiť, ako sa koreň extrahuje z zlomkového čísla. Nech je zlomkové číslo odmocniny napísané ako p/q . Podľa vlastnosti koreňa kvocientu platí nasledujúca rovnosť. Z tejto rovnosti vyplýva pravidlo koreňového zlomku: Odmocnina zlomku sa rovná podielu delenia odmocniny čitateľa odmocninou menovateľa.
Pozrime sa na príklad extrakcie koreňa zo zlomku.
Príklad.
Aká je druhá odmocnina bežného zlomku 25/169.
Riešenie.
Podľa tabuľky štvorcov zistíme, že druhá odmocnina čitateľa pôvodného zlomku je 5 a druhá odmocnina menovateľa je 13. Potom 
. Tým sa dokončí extrakcia koreňa z obyčajnej frakcie 25/169.
odpoveď:
Odmocnina desatinného zlomku alebo zmiešaného čísla sa extrahuje po nahradení koreňových čísel bežnými zlomkami.
Príklad.
Vezmite odmocninu desatinného čísla 474,552.
Riešenie.
Predstavme si pôvodné desatinné číslo ako bežný zlomok: 474,552=474552/1000 . Potom 
. Zostáva extrahovať kubické korene, ktoré sú v čitateli a menovateli výsledného zlomku. Pretože 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 = 78 3 a 1 000 = 10 3, potom 
A 
. Zostáva len dokončiť výpočty 
.
odpoveď:
.
Extrahovanie odmocniny záporného čísla
Samostatne stojí za to venovať sa extrakcii koreňov zo záporných čísel. Pri štúdiu koreňov sme si povedali, že keď je exponent odmocniny nepárne číslo, pod znamienkom odmocniny môže byť aj záporné číslo. Takýmto zápisom sme dali nasledujúci význam: pre záporné číslo −a a nepárny exponent od koreňa 2 n−1 máme 
. Táto rovnosť dáva pravidlo na extrakciu nepárnych koreňov zo záporných čísel: ak chcete extrahovať koreň zo záporného čísla, musíte extrahovať koreň z opačného kladného čísla a pred výsledok vložiť znamienko mínus.
Uvažujme o príklade riešenia.
Príklad.
Nájdite koreňovú hodnotu.
Riešenie.
Transformujme pôvodný výraz tak, aby sa pod znamienkom koreňa objavilo kladné číslo: 
. Teraz nahradíme zmiešané číslo obyčajným zlomkom: 
. Aplikujeme pravidlo extrakcie koreňa z obyčajnej frakcie: 
. Zostáva vypočítať korene v čitateli a menovateli výsledného zlomku: 
.
Tu je zhrnutie riešenia: 
.
odpoveď:
.
Bitové hľadanie koreňovej hodnoty
Vo všeobecnom prípade je pod odmocninou číslo, ktoré pomocou techník diskutovaných vyššie nemôže byť reprezentované ako n-tá mocnina žiadneho čísla. Ale zároveň je potrebné poznať hodnotu daného koreňa, aspoň do určitého znamienka. V tomto prípade na extrakciu koreňa môžete použiť algoritmus, ktorý vám umožní konzistentne získať dostatočný počet hodnôt číslic požadovaného čísla.
Prvým krokom tohto algoritmu je zistiť, ktorý je najvýznamnejší bit koreňovej hodnoty. Na tento účel sa čísla 0, 10, 100, ... postupne zvyšujú na mocninu n, kým sa nezíska číslo presahujúce odmocninu. Potom číslo, ktoré sme v predchádzajúcom kroku zvýšili na mocninu n, bude označovať zodpovedajúci vysoký rád.
Zvážte napríklad tento krok algoritmu pri extrakcii druhej odmocniny z piatich. Zoberieme čísla 0, 10, 100, ... a odmocníme ich, kým nedostaneme číslo väčšie ako 5 . Máme 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , čo znamená, že najvýznamnejšia číslica bude číslica jednotiek. Hodnota tohto bitu, ako aj nižších, sa zistí v ďalších krokoch algoritmu extrakcie koreňa.
Všetky nasledujúce kroky algoritmu sú zamerané na postupné spresnenie hodnoty koreňa v dôsledku skutočnosti, že sa nájdu hodnoty ďalších číslic požadovanej hodnoty koreňa, počnúc od najvyššej po najnižšiu. . Napríklad hodnota koreňa v prvom kroku je 2 , v druhom - 2,2 , v treťom - 2,23 , a tak ďalej 2,236067977 ... . Popíšme, ako sa nachádzajú hodnoty bitov.
Hľadanie bitov sa vykonáva spočítaním ich možných hodnôt 0, 1, 2, ..., 9 . V tomto prípade sa paralelne vypočítajú n-té mocniny zodpovedajúcich čísel a porovnajú sa s koreňovým číslom. Ak v určitom štádiu hodnota stupňa prekročí radikálne číslo, potom sa hodnota číslice zodpovedajúcej predchádzajúcej hodnote považuje za nájdenú a ak sa tak nestane, vykoná sa prechod na ďalší krok algoritmu extrakcie koreňov. potom je hodnota tejto číslice 9 .
Vysvetlime všetky tieto body na rovnakom príklade extrakcie druhej odmocniny z piatich.
Najprv nájdite hodnotu číslice jednotiek. Budeme iterovať hodnoty 0, 1, 2, …, 9 , pričom budeme počítať 0 2 , 1 2 , …, 9 2, kým nedostaneme hodnotu väčšiu ako radikálne číslo 5 . Všetky tieto výpočty sú pohodlne prezentované vo forme tabuľky: 
Takže hodnota číslice jednotky je 2 (pretože 2 2<5
, а 2 3 >5). Prejdime k hľadaniu hodnoty desiateho miesta. V tomto prípade odmocníme čísla 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9, pričom získané hodnoty porovnáme s koreňovým číslom 5: 
Od 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5 , potom je hodnota desiateho miesta 2 . Môžete pokračovať v hľadaní hodnoty stotín miesta: 
Takže sa nájde ďalšia hodnota odmocniny z piatich, rovná sa 2,23. A tak môžete pokračovať v hľadaní hodnôt ďalej: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Na konsolidáciu materiálu analyzujeme extrakciu koreňa s presnosťou na stotiny pomocou uvažovaného algoritmu.
Najprv definujeme staršiu číslicu. Aby sme to urobili, dáme kocku čísla 0, 10, 100 atď. kým nedostaneme číslo väčšie ako 2 151,186 . Máme 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , takže najvýznamnejšou číslicou sú desiatky.
Definujme jeho hodnotu. 
Od 103<2 151,186
, а 20 3 >2 151,186, potom je hodnota desiatky číslic 1. Prejdime k jednotkám. 
Hodnota jedného miesta je teda 2 . Prejdime k desiatke. 
Keďže aj 12,9 3 je menej ako radikálne číslo 2 151,186 , hodnota desiateho miesta je 9 . Zostáva vykonať posledný krok algoritmu, ten nám dá hodnotu koreňa s požadovanou presnosťou. 
V tomto štádiu sa hodnota koreňa nachádza až do stotín: 
.
Na záver tohto článku by som chcel povedať, že existuje mnoho ďalších spôsobov, ako extrahovať korene. Ale pre väčšinu úloh postačujú tie, ktoré sme študovali vyššie.
Bibliografia.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 8 buniek. vzdelávacie inštitúcie.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre ročníky 10-11 všeobecných vzdelávacích inštitúcií.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách).
Príklady:
\(\sqrt(16)=2\), pretože \(2^4=16\)
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\) ,pretože \((-\frac(1)(5) ) ^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)
Ako vypočítať koreň n-tého stupňa?
Na výpočet \(n\)-tej odmocniny si musíte položiť otázku: aké číslo k \(n\)-temu stupňu dá pod odmocninou?
Napríklad. Vypočítajte \(n\)-tý koreň: a)\(\sqrt(16)\); b) \(\sqrt(-64)\); c) \(\sqrt(0,00001)\); d)\(\sqrt(8000)\); e) \(\sqrt(\frac(1)(81))\).
a) Aké číslo k \(4\)-tej mocnine dá \(16\)? Je zrejmé, že \(2\). Preto:
b) Aké číslo na \(3\)-nú mocninu dá \(-64\)?
\(\sqrt(-64)=-4\)
c) Aké číslo na \(5\)-nú mocninu dá \(0,00001\)?
\(\sqrt(0,00001)=0,1\)
d) Aké číslo na \(3\)-tý stupeň dá \(8000\)?
\(\sqrt(8000)=20\)
e) Aké číslo na \(4\)-tú mocninu dá \(\frac(1)(81)\)?
\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)
Uvažovali sme o najjednoduchších príkladoch s odmocninou \(n\)-tého stupňa. Na riešenie zložitejších problémov s koreňmi \(n\)-tého stupňa je nevyhnutné ich poznať.
Príklad. Vypočítať:
|
\(\sqrt 3\cdot \sqrt(-3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(9) -\) \(=\) |
V súčasnosti nie je možné vypočítať žiadny z koreňov. Preto aplikujeme vlastnosti koreňového \(n\)-tého stupňa a transformujeme výraz. |
|
|
\(=\sqrt(3)\cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(27)\cdot \sqrt(9)-\sqrt(-32)=\) |
Preusporiadajme faktory v prvom člene tak, aby druhá odmocnina a odmocnina \(n\)-tého stupňa boli vedľa seba. To uľahčí aplikáciu vlastností. väčšina vlastností \(n\)-tých koreňov funguje iba s koreňmi rovnakého stupňa. |
|
|
\(=\sqrt(3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(9)-(-5)=\) |
Použite vlastnosť \(\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)=\sqrt[n](a\cdot b)\) a rozbaľte zátvorku |
|
|
\(=\sqrt(81)\cdot \sqrt(-27)+5=\) |
Vypočítajte \(\sqrt(81)\) a \(\sqrt(-27)\) |
|
|
\(=9\cdot(-3)+5=-27+5=-22\) |
|
Súvisí n-tá odmocnina a druhá odmocnina?
V každom prípade, akýkoľvek koreň akéhokoľvek stupňa je len číslo, aj keď napísané v pre vás nezvyčajnej forme.
Singularita n-tého koreňa
\(n\)-tá odmocnina s nepárnym \(n\) môže byť prevzatá z akéhokoľvek čísla, aj záporného (pozri príklady na začiatku). Ale ak je \(n\) párne (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)…), potom sa takýto koreň extrahuje iba vtedy, ak \( a ≥ 0\) (mimochodom, druhá odmocnina má to isté). Je to spôsobené tým, že extrakcia koreňa je opakom umocňovania.
A zvýšením na párnu mocninu je párne záporné číslo kladné. Skutočne, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Preto nemôžeme dostať záporné číslo pod odmocninou párneho stupňa. To znamená, že takýto koreň nemôžeme extrahovať zo záporného čísla.
Nepárna mocnina nemá žiadne takéto obmedzenia – záporné číslo umocnené na nepárnu mocninu zostane záporné: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2 ) \ cdot(-2)=-32\). Preto pod koreňom nepárneho stupňa môžete získať záporné číslo. To znamená, že je možné ho extrahovať aj zo záporného čísla.
