تسمى السلسلة بالتناوب إذا كان لأي عضوين متجاورين علامات مختلفة، أي. سلسلة من النموذج u 1 – u 2 + u 3 – u 4 +… + u n + …، حيث u 1، u 2، …، u n، … إيجابية.

نظرية لايبنيز. إذا كانت حدود المتسلسلة المتناوبة، مأخوذة بالقيمة المطلقة، تتناقص بشكل رتيب ويميل معامل الحد العام للمتسلسلة إلى الصفر عند، أي.
، ثم تتقارب المتسلسلة.

مثال 1.

بحث عن تقارب المتسلسلة المتناوبة:

.

تتناقص شروط المتسلسلة، مأخوذة بالقيمة المطلقة، بشكل رتيب:

تتقارب السلسلة.

1.6. سلسلة بالتناوب. التقارب المطلق والشرطي للمتسلسلات

صف ش 1 + ش 2 +…+ ش ن +… ويسمى بالتناوب إذا كانت أعضاؤه تشمل الإيجابية والسلبية.

السلسلة المتناوبة هي حالة خاصة من السلسلة المتناوبة.

نظرية. نظرا لسلسلة بالتناوب ش 1 + ش 2 +…+ ش ن +…(1). دعونا نصنع سلسلة | ش 1 |+| ش 2 |+…+| ش ن |+… (2). إذا تقاربت المتسلسلة (2) المؤلفة من القيم المطلقة لحدود المتسلسلة (1)، فإن المتسلسلة (1) تتقارب.

تعريف. سلسلة بالتناوب ش 1 + ش 2 +…+ ش ن +… تسمى متقاربة تمامًا إذا تقاربت المتسلسلة المكونة من القيم المطلقة لأعضائها | ش 1 |+| ش 2 |+…+| ش ن |+… .

إذا تقاربت المتسلسلة المتناوبة (1)، وتباعدت المتسلسلة (2) المكونة من القيم المطلقة لأعضائها، فإن هذه المتسلسلة المتناوبة (1) تسمى متسلسلة متقاربة شرطياً أو غير متقاربة بشكل مطلق.

مثال 1.

دراسة المتسلسلة لمعرفة التقارب والتقارب المطلق:
.

تتقارب المتسلسلة المتناوبة طبقا لنظرية لايبنتز
. تتناقص شروط السلسلة بشكل رتيب و
. الآن نفحص هذه المتسلسلة للتأكد من التقارب المطلق. لننظر إلى سلسلة مكونة من القيم المطلقة لشروط هذه السلسلة: . نحن نتحقق من تقارب هذه المتسلسلة باستخدام اختبار دالمبيرت:
. تتقارب السلسلة. هذا يعني أن المتسلسلة المتناوبة المعطاة متقاربة بشكل مطلق.

مثال 2.

دراسة المتسلسلة لمعرفة التقارب والتقارب المطلق:
.

وفقا لنظرية لايبنتز
. تتقارب السلسلة. سلسلة مكونة من القيم المطلقة لأعضاء سلسلة معينة لها الشكل
. باستخدام معيار دالمبرت نحصل على
. المتسلسلة متقاربة، مما يعني أن المتسلسلة المتناوبة المعطاة تتقارب بشكل مطلق.

2. سلسلة وظيفية. منطقة التقارب للسلسلة الوظيفية

النظر في سلسلة من الوظائف المحددة في فترة زمنية معينة [ أ, ب] :

F 1 (س), F 2 (س), F 3 (س) … F ن (س), ….

بأخذ هذه الوظائف كأعضاء في السلسلة، نشكل السلسلة:

F 1 (س) + F 2 (س) + F 3 (س) + … + F ن (س) + …, (1)

من اتصل النطاق الوظيفي.

على سبيل المثال: خطيئة(س) + خطيئة(2س) + خطيئة(3س) + … + خطيئة(نx) + …

في حالة معينة، السلسلة الوظيفية هي السلسلة:

من اتصل سلسلة الطاقة، أين
دعا أرقام ثابتة معاملات شروط سلسلة السلطة.

يمكن أيضًا كتابة متسلسلة القوى بهذا الشكل:

أين
بعض العدد الثابت

عند قيمة ثابتة أو رقمية معينة سنحصل على سلسلة أعداد يمكن أن تكون متقاربة أو متباعدة.

تعريف : مجموعة من جميع القيم X(أو جميع النقاط Xخط الأعداد) الذي تتقارب فيه متسلسلة القوى منطقة التقارب لمتسلسلات القوى

مثال 1.

أوجد منطقة التقارب لمتسلسلات القوى:

حل (1 الطريق).

دعونا نطبق اختبار دالمبيرت.

نظرًا لأن اختبار d'Alembert ينطبق على السلسلة فقط مع أعضاء إيجابيين، فإن التعبير الموجود أسفل علامة الحد يؤخذ بالقيمة المطلقة.

وفقا لاختبار دالمبيرت، فإن المتسلسلة تتقارب إذا
و
.

أولئك. تتقارب السلسلة إذا < 1, откуда
أو -3< س<3.

نحصل على فترة التقارب لمتسلسلة القوى هذه: (-3;3).

في أقصى النقاط الفاصلة س =
، سوف نحصل على
.

في هذه الحالة، لا تجيب نظرية دالمبرت على سؤال تقارب المتسلسلة.

نحن ندرس سلسلة التقارب عند النقاط الحدودية:

س = -3,

نحصل على إشارة السلسلة المتناوبة. نقوم بفحصها من أجل التقارب باستخدام معيار لايبنيز:

1.
شروط السلسلة، مأخوذة بالقيمة المطلقة، تتناقص بشكل رتيب.

2.
وبالتالي فإن المتسلسلة تتقارب عند النقطة x = -3.

س = 3,

نحصل على سلسلة إيجابية. دعونا نطبق اختبار كوشي التكاملي لتقارب المتسلسلة.

تتناقص شروط السلسلة بشكل رتيب.

وظيفة
ما بين أثنين
:

.

التكامل غير الصحيح يتباعد، وهو ما يعني أن السلسلة عند النقطة x=3 تتباعد.

إجابة:

الطريقة الثانيةيعتمد تحديد منطقة التقارب لسلسلة القوى على تطبيق صيغة نصف قطر تقارب سلسلة القوى:

، أين و
احتمال و
أعضاء السلسلة.

لهذه السلسلة لدينا:

. ر=3.

تتقارب السلسلة

فترة تقارب السلسلة: -3< س<3.

بعد ذلك، كما في الحالة السابقة، نحتاج إلى استكشاف النقاط الحدودية: س =
.

إجابة:منطقة التقارب للمتسلسلة [-3;3).

لاحظ أنأن الطريقة الثانية لتحديد منطقة تقارب متسلسلة القوى هي استخدام صيغة نصف قطر تقارب المتسلسلة
أكثر عقلانية.

مثال 2.

أوجد منطقة التقارب لمتسلسلات القوى:
.

سوف نجد ر- نصف قطر تقارب السلسلة.

,
,
.

.
.

فترة تقارب السلسلة (- ;).

نفحص المتسلسلة لمعرفة التقارب عند النقاط س = -و س = .

س = - ,

نحصل على إشارة السلسلة المتناوبة. دعونا نطبق اختبار لايبنتز:

1.
شروط السلسلة، مأخوذة بالقيمة المطلقة، تتناقص بشكل رتيب.

2.
وبالتالي فإن المتسلسلة عند النقطة x = - يتقارب.

س = ,
.

حصلنا على خلاف مع أعضاء إيجابيين. دعونا نطبق اختبار كوشي للتكامل.

هنا
:

، أعضاء السلسلة
تقليل رتابة.

وظيفة
ما بين أثنين
:

.

التكامل غير الصحيح يتباعد، وتتباعد السلسلة.

إجابة: [-;) – منطقة التقارب للسلسلة.

السلسلة البديلة هي سلسلة يمكن أن يكون لأعضائها أي علامات، على سبيل المثال، .

على وجه الخصوص، إذا كانت الحدود الإيجابية والسلبية لسلسلة تتبع بعضها البعض بالتناوب، فإن هذه السلسلة المتناوبة تسمى بالتناوب.

صفوف متناوبة

يمكن تمثيل المتسلسلة المتناوبة التي تكون حدودها موجبة على النحو التالي:

لدراسة تقارب المتسلسلات المتناوبة تم استخدام اختبار لايبنتز.

علامة لايبنتز.تتقارب المتسلسلة المتناوبة إذا تناقصت القيم المطلقة لحدودها ويميل الحد المشترك إلى الصفر، أي إذا تحقق الشرطان التاليان:

1)
و 2)
.

يتم تشكيل فئة مهمة إلى حد ما من المتسلسلة المتقاربة من خلال ما يسمى بالمتسلسلة المتقاربة تمامًا. علاوة على ذلك، يمكن أن يكون أعضاء هذه السلسلة أي أرقام حقيقية.

التعريف 9.5.صف ويقال إنه متقارب تمامًا إذا تقارب
.

نظرية 9.4.إذا كان الصف
تتقارب، وكذلك تتقارب المتسلسلة يتقارب أيضا.

تنص هذه النظرية على أنه إذا كانت المتسلسلة متقاربة بشكل مطلق، فإنها تتقارب ببساطة.

تجدر الإشارة إلى أن:

1) بالنسبة لسلسلة الإشارة الثابتة، يتطابق مفهوما التقارب والتقارب المطلق؛

2) تسمى المتسلسلة متقاربة شرطياً إذا كانت متقاربة، والمتسلسلة
يتباعد.

دعونا نفكر في اختبارات دالمبيرت وكوشي للمتسلسلات المتناوبة العشوائية.

علامة دالمبرت.إذا كان موجودا
، اذا متى
صف يتقارب تماما عندما
ستكون السلسلة متباينة عندما
العلامة لا تحل مسألة تقارب السلسلة.

المشكلة 9.7.التحقيق في تقارب السلسلة

هنا، كل حدين موجبين في المتسلسلة يتبعهما حدان سالبان. ولدراسة تقارب مثل هذه المتسلسلة نستخدم اختبار دالمبيرت.

.

تتقارب السلسلة الأصلية باستخدام معيار دالمبرت.

المشكلة 9.8.افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب المطلق

هنا
. لمثل هذه السلسلة يتم استيفاء الشروط التالية:

أ)

ب)
. وبالتالي، فإن المتسلسلة الأصلية تتقارب وفقًا لمعيار لايبنيز.

نحن نفحص المتسلسلة المعطاة للتأكد من التقارب المطلق. للقيام بذلك، دعونا إنشاء سلسلة
من القيم المطلقة:

مثل هذه السلسلة عبارة عن تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي ويتقارب دائمًا. وهكذا فإن المتسلسلة الأصلية تتقارب بشكل مطلق.

المشكلة 9.9. التحقيق في تقارب السلسلة

هنا
وبالتالي تكون المتسلسلة متباعدة لعدم توفر شرط التقارب.

الموضوع 9.2. سلسلة وظيفية

دعونا نعطي التسلسل التالي من الوظائف
، أي.

والتي يتم تعريفها على مجموعة معينة. إذا كانت شروط هذا التسلسل مرتبطة بعلامة زائد، فسنحصل على التعبير

أو
. تسمى هذه التعبيرات بالسلسلة الوظيفية والوظيفة
يسمى المصطلح الشائع للسلسلة.

المبالغ الجزئية للسلسلة
تسمى وظائف النموذج

النطاق الوظيفي
تسمى متقاربة في
أو عند النقطة ( )، إذا تقاربت تسلسل مجاميعها الجزئية عند هذه النقطة:

وبعبارة أخرى، يمكن الإشارة إلى أن السلسلة الوظيفية
يتقارب عند
، إذا كانت سلسلة الأرقام متقاربة
.

حد التسلسل
، فلنشير إليه بـ
، ويسمى مجموع السلسلة
عند هذه النقطة .

التعريف 9.6.مجموعة من جميع القيم ، حيث تتقارب المتسلسلة
، تسمى منطقة التقارب لهذه المتسلسلة.

يترك
على الجزء بعد ذلك
على الجزء قيد النظر. في هذه الحالة، لاحظ أن الدالة
يتوسع في سلسلة على هذا الجزء
.

كما تبين، تقارب المتسلسلة الوظيفية على الفترة
يعني أنه لأي قيمة شريحة
سلسلة الأرقام المقابلة تتقارب. وفي هذا الصدد، لدراسة تقارب المتسلسلات الوظيفية، يمكن استخدام علامات تقارب المتسلسلات العددية.

المشكلة 9.10.أوجد مساحة التقارب للمتسلسلة

يمكن تمثيل هذه السلسلة بشكل مضغوط على النحو التالي

.

هذه السلسلة تتقارب مع الجميع
. في الواقع، للجميع
مجموع السلسلة هو (مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي). وهكذا في الفاصل
تحدد السلسلة الأصلية الوظيفة

سلسلة أرقام

يسمى بالتناوب إذا كان بين أعضائه أرقام موجبة وسالبة.

تسمى سلسلة الأرقام بالتناوب إذا كان هناك حدان متجاوران لهما إشارات متضادة.

أين للجميع (أي سلسلة تتبع مصطلحاتها الإيجابية والسلبية بعضها البعض بدورها). على سبيل المثال،

بالنسبة للمتسلسلات ذات الإشارات المتناوبة، هناك علامة تقارب كافية (أنشأها لايبنيز عام 1714 في رسالة إلى بيرنولي).

علامة لايبنتز. التقارب المطلق والشرطي للمتسلسلات

نظرية (اختبار لايبنتز).

تتقارب المتسلسلة المتناوبة إذا:

تسلسل القيم المطلقة لشروط السلسلة يتناقص بشكل رتيب، أي. ;

يميل المصطلح العام للسلسلة إلى الصفر:.

في هذه الحالة، مجموع S من السلسلة يفي بالمتباينات

ملحوظات.

دراسة سلسلة متناوبة من النموذج

(مع حد أول سلبي) يتم اختزاله بضرب جميع حدوده في دراسة السلسلة.

تسمى المتسلسلة التي تتوفر فيها شروط نظرية لايبنتز متسلسلة لايبنتز (أو متسلسلة لايبنتز).

تتيح لنا العلاقة الحصول على تقدير بسيط ومريح للخطأ الذي نرتكبه عند استبدال مجموع S لسلسلة معينة بمجموعها الجزئي.

السلسلة المهملة (الباقي) هي أيضًا سلسلة متناوبة، مجموعها في معاملها أقل من العضو الأول في هذه السلسلة، أي، وبالتالي يكون الخطأ أقل من معامل أول حد من الحدود المهملة.

مثال. احسب مجموع المتسلسلة تقريبًا.

الحل: هذه السلسلة من نوع لايبنتز. تناسبها. يمكنك كتابة:

أخذ خمسة أعضاء، أي. قابلة للاستبدال

دعونا نرتكب خطأ أصغر

كيف. لذا،.

بالنسبة للمتسلسلات المتناوبة، ينطبق المعيار العام الكافي التالي للتقارب.

نظرية. دعونا نعطي سلسلة متناوبة

إذا كانت السلسلة متقاربة

تتكون من وحدات حدود متسلسلة معينة، ثم تتقارب المتسلسلة المتناوبة نفسها.

يعد اختبار تقارب لايبنتز لسلاسل العلامات المتناوبة بمثابة معيار كافٍ لتقارب سلاسل العلامات المتناوبة.

تسمى المتسلسلة المتناوبة متقاربة تماما إذا كانت المتسلسلة المكونة من القيم المطلقة لأعضائها متقاربة، أي كل متسلسلة متقاربة بشكل مطلق فهي متقاربة.

إذا تقاربت متسلسلة متناوبة، ولكن تباعدت متسلسلة مكونة من القيم المطلقة لأعضائها، فإن هذه المتسلسلة تسمى متقاربة شرطيا (غير مطلقة).

تمارين

فحص التقارب (المطلق أو المشروط) للمتسلسلة المتناوبة:

ولذلك، وفقا لمعيار لايبنيز، تتقارب المتسلسلة. دعونا نعرف ما إذا كانت هذه المتسلسلة متقاربة بشكل مطلق أم مشروط.

المتسلسلة المكونة من قيم مطلقة لمتسلسلة معينة هي متسلسلة توافقية متباعدة. ولذلك، فإن هذه السلسلة تتقارب بشكل مشروط.

شروط هذه السلسلة تنخفض بشكل رتيب في القيمة المطلقة:

تتباعد المتسلسلة لأن اختبار لايبنتز لا يصمد.

وباستخدام اختبار لايبنتز نحصل على

أولئك. تتقارب السلسلة.

هذه هي سلسلة هندسية من الشكل الذي يتقارب فيه. ولذلك فإن هذه المتسلسلة متقاربة بشكل مطلق.

باستخدام اختبار لايبنتز، لدينا

أولئك. تتقارب السلسلة.

لننظر إلى سلسلة مكونة من القيم المطلقة لشروط هذه السلسلة:

هذه سلسلة توافقية معممة تتباعد بسبب. ولذلك، فإن هذه السلسلة تتقارب بشكل مشروط.

مصطلح تقارب المتسلسلات المتناوبة

صفوف متناوبة. علامة لايبنتز.
التقارب المطلق والمشروط

لفهم أمثلة هذا الدرس، يجب أن يكون لديك فهم جيد لمتسلسلة الأعداد الموجبة: فهم ماهية المتسلسلة، ومعرفة الإشارة اللازمة لتقارب المتسلسلة، والقدرة على تطبيق اختبارات المقارنة، واختبار دالمبيرت ، اختبار كوشي. يمكن إثارة الموضوع من الصفر تقريبًا من خلال دراسة المقالات باستمرار صفوف للدمىو علامة دالمبرت. علامات كوشي. منطقيًا، هذا الدرس هو الثالث على التوالي، وسيسمح لك ليس فقط بفهم الصفوف المتناوبة، ولكن أيضًا بدمج المواد التي تمت تغطيتها بالفعل! سيكون هناك القليل من الحداثة، ولن يكون إتقان الصفوف المتناوبة أمرًا صعبًا. كل شيء بسيط ويمكن الوصول إليه.

ما هي سلسلة بالتناوب؟وهذا واضح أو شبه واضح من الاسم نفسه. مجرد مثال بسيط.

دعونا نلقي نظرة على السلسلة ونصفها بمزيد من التفاصيل:

والآن سيكون هناك تعليق قاتل. أعضاء السلسلة المتناوبة لديهم علامات متناوبة: زائد، ناقص، زائد، ناقص، زائد، ناقص، إلخ. إلى ما لا نهاية.

توفر المحاذاة مضاعفًا: إذا كانت متساوية، فستكون هناك علامة زائد، وإذا كانت غريبة، فستكون هناك علامة ناقص (كما تتذكر من الدرس حول تسلسل الأرقام، وهذا الشيء يسمى "الضوء الوامض"). وبالتالي، يتم "تعريف" المتسلسلة المتناوبة بواسطة سالب واحد إلى الدرجة "en".

في الأمثلة العملية، يمكن توفير تناوب شروط السلسلة ليس فقط عن طريق المضاعف، ولكن أيضًا عن طريق أشقائه: , , , ..... على سبيل المثال:

والمأزق هو "الخداع": ،،، الخ. - مثل هذه المضاعفات لا توفر تغيير العلامة. من الواضح تمامًا أنه بالنسبة لأي طبيعي: , , . لا تنزلق صفوف الخداع إلى الطلاب الموهوبين بشكل خاص فحسب، بل تنشأ من وقت لآخر "بأنفسهم" أثناء الحل سلسلة وظيفية.

كيفية فحص سلسلة متناوبة للتقارب؟استخدم اختبار لايبنتز. لا أريد أن أقول أي شيء عن عملاق الفكر الألماني جوتفريد فيلهلم لايبنتز، لأنه بالإضافة إلى أعماله الرياضية، كتب عدة مجلدات عن الفلسفة. خطير على الدماغ.

اختبار لايبنتز: إذا كان أعضاء سلسلة بالتناوب رتابةانخفاض في المعامل، ثم تتقارب السلسلة.

أو في نقطتين:

1) السلسلة متناوبة .

2) تتناقص حدود المتسلسلة في معاملها: وتتناقص رتابة.

إذا تحققت هذه الشروط فإن المتسلسلة تتقارب.

معلومات مختصرةحول وحدة يرد في الدليل الصيغ الساخنة لدورة الرياضيات المدرسيةولكن من باب التيسير مرة أخرى:

ماذا يعني "مودلو"؟ الوحدة، كما نتذكر من المدرسة، "تأكل" علامة الطرح. دعنا نعود إلى الصف . امسح جميع العلامات عقليًا باستخدام ممحاة و دعونا ننظر إلى الأرقام. سوف نرى أن كل المقبلعضو السلسلة أقلمن السابق. وبالتالي فإن العبارات التالية تعني نفس الشيء:

- أعضاء السلسلة بغض النظر عن الإشارةتتناقص.
– انخفاض عدد أعضاء المسلسل modulo.
– انخفاض عدد أعضاء المسلسل بواسطة قيمه مطلقه.
– وحدةالحد المشترك للسلسلة يميل إلى الصفر:

// نهاية المساعدة

الآن دعونا نتحدث قليلا عن الرتابة. الرتابة هي الاتساق الممل.

أعضاء السلسلة رتيبة تماماانخفاض في المعامل إذا كان كل عضو التالي في السلسلة moduloأقل من السابق : . على التوالي يتم تحقيق الرتابة الصارمة للتناقص، ويمكن وصفها بالتفصيل:

أو يمكننا أن نقول باختصار: كل عضو تالي في السلسلة moduloأقل من السابق : .

أعضاء السلسلة ليست رتيبة تماماانخفاض في modulo إذا كان كل عضو تالي في سلسلة modulo ليس أكبر من العضو السابق: . النظر في سلسلة مع مضروب: يوجد هنا رتابة فضفاضة، حيث أن أول فترتين من السلسلة متطابقتان في المعامل. أي كل عضو تالي في السلسلة moduloليس أكثر من السابق: .

في ظل شروط نظرية لايبنيز، يجب تلبية انخفاض الرتابة (لا يهم ما إذا كانت صارمة أم غير صارمة). بالإضافة إلى ذلك، يمكن لأعضاء السلسلة حتى زيادة في المعامل لبعض الوقت، لكن "ذيل" السلسلة يجب بالضرورة أن يتناقص بشكل رتيب.

لا داعي للخوف مما كدسته، فالأمثلة العملية ستضع كل شيء في مكانه:

مثال 1

يتضمن المصطلح الشائع للمتسلسلة العامل، وهذا يدفع إلى فكرة طبيعية للتحقق من استيفاء شروط اختبار لايبنتز:

1) التحقق من الصف للتناوب. عادة في هذه المرحلة يتم وصف سلسلة القرارات بالتفصيل وينطق الحكم "المسلسل بالتناوب".

2) هل تتناقص حدود المتسلسلة في القيمة المطلقة؟ هنا تحتاج إلى حل الحد، والذي غالبًا ما يكون بسيطًا جدًا.

- حدود المتسلسلة لا تنخفض في معاملها، وهذا يعني تلقائيا تباعدها - لأن النهاية غير موجود*، أي أن المعيار اللازم لتقارب المتسلسلة غير متوافر.

مثال 9

افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

مثال 10

افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

بعد دراسة عالية الجودة للمتسلسلات العددية الموجبة والمتناوبة، بضمير مرتاح، يمكنك الانتقال إلى المتسلسلة الوظيفية، التي ليست أقل رتابة ومثيرة للاهتمام.

لقد قمنا حتى الآن بدراسة المسلسلات التي كانت جميع شروطها إيجابية. ننتقل الآن إلى النظر في المتسلسلة التي تحتوي على مصطلحات موجبة وسالبة. وتسمى هذه السلسلة سلسلة متناوبة.

وكمثال على سلسلة متناوبة، نعطي هذه السلسلة

وسنبدأ دراسة المتسلسلة المتناوبة بحالة خاصة وهي ما يسمى بالمتسلسلة المتناوبة، أي المتسلسلة التي يتبع فيها كل حد موجب حد سالب وكل حد سالب يتبعه حد موجب.

بالدلالة على - القيم المطلقة لحدود المتسلسلة وبافتراض أن الحد الأول موجب نكتب المتسلسلة المتناوبة كما يلي:

بالنسبة لسلسلة من الإشارات المتناوبة، هناك معيار كاف لتقارب لايبنتز.

علامة لايبنتز. إذا كانت القيم المطلقة للمصطلحات في السلسلة المتناوبة (34) تنخفض:

ويميل الحد المشترك للمتسلسلة إلى الصفر: فتتقارب المتسلسلة ولا يتجاوز مجموعها الحد الأول من المتسلسلة.

دليل. خذ بعين الاعتبار المجموع الجزئي لعدد زوجي من حدود المتسلسلة

لنقم بتجميع الأعضاء في أزواج:

بما أن القيم المطلقة لحدود المتسلسلة تتناقص، حسب الشرط، فإن جميع الفروق بين القوسين تكون موجبة، وبالتالي يكون المجموع موجبًا ويزداد مع الزيادة.

دعونا الآن نكتب ونجمع المصطلحات بطريقة مختلفة:

سيكون المجموع بين قوسين مربعين موجبًا أيضًا. لذلك، لأي قيمة. وبالتالي، فإن تسلسل المجاميع الجزئية يزداد مع بقاءه محدودًا. لذلك، له حد

علاوة على ذلك، بما أنه من الواضح أننا لننظر الآن إلى مجموع عدد فردي من الحدود:

عندما نمتلك

منذ بشرط، وبالتالي، .

وبالتالي، فإن المجاميع الجزئية لكل من الأعداد الزوجية والفردية من الحدود لها حد مشترك S. وهذا يعني بشكل عام، أي أن المتسلسلة تتقارب. علاوة على ذلك، وكما يتبين من البرهان، فإن مجموع المتسلسلة S لا يتجاوز الحد الأول من المتسلسلة.

مثال 1. تحقق فيما إذا كانت المتسلسلة متقاربة أم متباعدة

حل. هذه السلسلة تحقق شروط اختبار لايبنتز:

ولذلك فإن المتسلسلة تتقارب.

دعونا ننتقل الآن إلى النظر في الحالة العامة للمتسلسلة المتناوبة. وسوف نفترض ذلك في هذه السلسلة

يمكن أن تكون الأرقام إيجابية أو سلبية.

بالنسبة لمثل هذه المتسلسلات، فإن المعيار الكافي التالي لتقارب المتسلسلات المتناوبة هو الصحيح.

نظرية. إذا لسلسلة بالتناوب

سلسلة مؤلفة من القيم المطلقة لحدودها تتقارب

ثم تتقارب هذه السلسلة المتناوبة أيضًا.

دليل. دعونا ننظر في سلسلة مساعدة مكونة من أعضاء السلسلة (37) و (38):

وبذلك تكون حدود المتسلسلة (39) إما مساوية لحدود المتسلسلة المتقاربة (38) أو أقل منها. ولذلك فإن السلسلة (39) تتقارب بناءً على معيار المقارنة (انظر الفقرة 5، النظرية 1 والحاشية في الصفحة 501).

بضرب جميع حدود المتسلسلة المتقاربة (38) نحصل على المتسلسلة المتقاربة

(انظر الفقرة 3، النظرية 1). دعونا نفكر الآن في المتسلسلة التي تمثل الفرق بين المتسلسلتين المتقاربتين (39) و(40)

تتقارب هذه المتسلسلة بناءً على النظرية 2، الفقرة 3.

لكن السلسلة (37) يتم الحصول عليها من السلسلة الأخيرة بضرب جميع حدودها في 2:

وبالتالي، فإن المتسلسلة (37) تتقارب أيضًا (القسم 3، النظرية 1).

مثال 2. افحص المتسلسلة المتناوبة (33) لمعرفة التقارب

حل. دعونا ننظر إلى سلسلة مكونة من القيم المطلقة لشروط هذه السلسلة

تتقارب هذه المتسلسلة مثل المتسلسلة التوافقية المعممة ذات الأس. وبالتالي، وبناءً على المعيار المثبت، تتقارب هذه المتسلسلة (33) أيضًا.

هذه الميزة كافية، ولكنها ليست ضرورية. وهذا يعني أن هناك متسلسلات متناوبة تتقارب، بينما تتباعد المتسلسلات المكونة من القيم المطلقة لحدودها.

في الواقع، النظر في هذه السلسلة

والتي تتقارب بوضوح وفقًا لمعيار لايبنيز. وفي الوقت نفسه، عدد

تتكون من القيم المطلقة لحدود متسلسلة معينة وهي متناغمة، وبالتالي متباعدة.

على الرغم من أن المتسلسلتين (33) و(42) اللتين ناقشناهما أعلاه متقاربتان، إلا أن طبيعة تقاربهما مختلفة.

تتقارب المتسلسلة (33) بشكل آني مع المتسلسلة (41) المكونة من القيم المطلقة لأعضائها، بينما تتباعد المتسلسلة (43) المكونة من القيم المطلقة للمتسلسلة المتقاربة (42).

وفي هذا الصدد، نقدم التعريفات التالية.

تعريف. تكون المتسلسلة المتناوبة متقاربة تقاربًا مطلقًا إذا تقاربت المتسلسلة المكونة من القيم المطلقة لحدودها

بناءً على وجود معيار كافٍ لتقارب متسلسلة متناوبة، فإن أي متسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا ستكون متقاربة.

تعريف. تسمى المتسلسلة المتناوبة غير متقاربة بشكل مطلق إذا كانت متقاربة، أما المتسلسلة المكونة من القيم المطلقة لحدودها فهي متباعدة.

وبالعودة إلى الأمثلة التي تمت مناقشتها أعلاه، يمكننا القول أن المتسلسلة (33) متقاربة تمامًا، والمتسلسلة ( ليست متقاربة تمامًا.