یک سری متناوب نامیده می شود که هر دو عضو مجاور دارای علائم متفاوت باشند، یعنی. سری های شکل u 1 – u 2 + u 3 – u 4 +… + u n + … که u 1, u 2, …, u n, … مثبت هستند.

قضیه لایب نیتس. اگر عبارات یک سری متناوب که به صورت قدر مطلق گرفته می شوند، به طور یکنواخت کاهش می یابند و مدول جمله کلی سری به صفر میل کند، یعنی.
، سپس سری همگرا می شوند.

مثال 1.

بررسی همگرایی یک سری متناوب:

.

عبارات سری که با مقدار مطلق گرفته شده اند به طور یکنواخت کاهش می یابد:

سریال همگرا می شود.

1.6. سریال متناوب همگرایی مطلق و مشروط سری

ردیف تو 1 + تو 2 +…+ تو n +… متناوب نامیده می شود که اعضای آن دارای هر دو مثبت و منفی باشند.

سری های متناوب مورد خاصی از سری های متناوب هستند.

قضیه. با توجه به یک سری متناوب تو 1 + تو 2 +…+ تو n +…(1). بیا یه سریال بسازیم | تو 1 |+| تو 2 |+…+| تو n |+… (2). اگر سری (2) که از مقادیر مطلق عبارات سری (1) تشکیل شده است، همگرا شود، سری (1) همگرا می شود.

تعریف. سریال متناوب تو 1 + تو 2 +…+ تو n +… اگر یک سری متشکل از مقادیر مطلق اعضای آن همگرا شود کاملاً همگرا نامیده می شود | تو 1 |+| تو 2 |+…+| تو n |+… .

اگر سری متناوب (1) همگرا شود و سری (2) که از مقادیر مطلق اعضای آن تشکیل شده است واگرا شود، این سری متناوب (1) یک سری مشروط یا غیر مطلق همگرا نامیده می شود.

مثال 1.

سری ها را از نظر همگرایی و همگرایی مطلق بررسی کنید:
.

یک سری متناوب طبق قضیه لایب نیتس همگرا می شود، زیرا
. شرایط سریال به صورت یکنواخت کاهش می یابد و
. حال این سری را از نظر همگرایی مطلق بررسی می کنیم. بیایید مجموعه ای را در نظر بگیریم که از مقادیر مطلق عبارات این مجموعه تشکیل شده است: . ما همگرایی این سری را با استفاده از آزمون d'Alembert بررسی می کنیم:
. سریال همگرا می شود. این بدان معنی است که سری متناوب داده شده کاملاً همگرا می شود.

مثال 2.

سری ها را از نظر همگرایی و همگرایی مطلق بررسی کنید:
.

طبق قضیه لایب نیتس
. سریال همگرا می شود. یک سری متشکل از مقادیر مطلق اعضای یک سری معین دارای فرم است
. با استفاده از معیار دالامبر به دست می آوریم
. سری همگرا می شود، به این معنی که سری متناوب داده شده کاملاً همگرا می شود.

2. سری عملکردی. منطقه همگرایی سری عملکردی

دنباله ای از توابع تعریف شده در یک بازه زمانی مشخص را در نظر بگیرید [ آ, ب] :

f 1 (ایکس), f 2 (ایکس), f 3 (ایکس) … f n (ایکس), ….

با در نظر گرفتن این توابع به عنوان اعضای سری، مجموعه را تشکیل می دهیم:

f 1 (ایکس) + f 2 (ایکس) + f 3 (ایکس) + … + f n (ایکس) + …, (1)

که نامیده می شود محدوده عملکردی.

مثلا: sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + … + sin(nx) + …

در یک مورد خاص، سری عملکردی سری است:

که نامیده می شود سری پاور، جایی که
اعداد ثابت نامیده می شود ضرایب ترم های سری توان.

سری power را می توان به این شکل نیز نوشت:

جایی که
یک عدد ثابت

در یک مقدار ثابت یا عددی معین ایکسیک سری عددی می گیریم که می تواند همگرا یا واگرا باشد.

تعریف : مجموعه ای از تمام مقادیر ایکس(یا تمام نکات ایکسخط عددی) که سری توان برای آن همگرا می شود نامیده می شود منطقه همگرایی سری توان.

مثال 1.

ناحیه همگرایی سری توان را پیدا کنید:

راه حل (1 راه).

بیایید تست d'Alembert را اعمال کنیم.

از آنجایی که آزمون d'Alembert فقط برای سریال هایی با اعضای مثبت، سپس عبارت زیر علامت حد به صورت قدر مطلق گرفته می شود.

طبق آزمون دالامبر، یک سری همگرا می شود اگر
و
.

آن ها سری همگرا می شود اگر < 1, откуда
یا -3< ایکس<3.

بازه همگرایی این سری توان را بدست می آوریم: (-3;3).

در نقاط افراطی فاصله ایکس =
، خواهد داشت
.

در این مورد، قضیه دالامبر به سوال همگرایی سری پاسخ نمی دهد.

ما سری را برای همگرایی در نقاط مرزی بررسی می کنیم:

x = -3,

ما علامت سری متناوب را دریافت می کنیم. ما آن را برای همگرایی با استفاده از معیار لایب نیتس بررسی می کنیم:

1.
شرایط سری که به صورت قدر مطلق در نظر گرفته شده اند به طور یکنواخت کاهش می یابند.

2.
بنابراین، سری در نقطه x = -3 همگرا می شود.

ایکس = 3,

یه سریال مثبت میگیریم اجازه دهید آزمون کوشی انتگرال را برای همگرایی سری اعمال کنیم.

شرایط سری به طور یکنواخت کاهش می یابد.

تابع
در بین
:

.

انتگرال نامناسب واگرا می شود، یعنی سری در نقطه x=3 واگرا می شود.

پاسخ:

راه دومتعیین منطقه همگرایی یک سری توانی بر اساس استفاده از فرمول برای شعاع همگرایی یک سری توانی است:

، جایی که و
شانس و
اعضای سریال

برای این سریال داریم:

. آر=3.

سری همگرا می شود

فاصله همگرایی سری: -3< ایکس<3.

در مرحله بعد، مانند مورد قبلی، باید در نقاط مرزی کاوش کنیم: ایکس =
.

پاسخ:منطقه همگرایی سری [-3;3).

توجه داشته باشید کهراه دوم برای تعیین ناحیه همگرایی یک سری توانی استفاده از فرمول شعاع همگرایی سری است.
منطقی تر

مثال 2.

ناحیه همگرایی سری توان را پیدا کنید:
.

پیدا خواهیم کرد آر- شعاع همگرایی سری.

,
,
.

.
.

فاصله همگرایی سری (- ;).

ما سری را برای همگرایی در نقاط بررسی می کنیم ایکس = -و ایکس = .

ایکس = - ,

ما علامت سری متناوب را دریافت می کنیم. بیایید تست لایب نیتس را اعمال کنیم:

1.
شرایط سری که به صورت قدر مطلق در نظر گرفته شده اند به طور یکنواخت کاهش می یابد.

2.
بنابراین، سری در نقطه x = - همگرا می شود.

x = ,
.

ما با اعضای مثبت دعوا کردیم. اجازه دهید آزمون کوشی انتگرال را اعمال کنیم.

اینجا
:

، اعضای سریال
یکنواخت کاهش می یابد.

تابع
در بین
:

.

انتگرال نامناسب واگرا می شود، سری واگرا می شود.

پاسخ: [-;) - ناحیه همگرایی سری.

سریال های متناوب سریال هایی هستند که اعضای آن می توانند هر علامتی داشته باشند، به عنوان مثال، .

به طور خاص، اگر عبارت های مثبت و منفی یک سری به طور متناوب از یکدیگر پیروی کنند، به چنین سری متناوب متناوب می گویند.

ردیف های متناوب

یک سری متناوب که عبارات آن مثبت هستند را می توان به صورت

برای بررسی همگرایی سری های متناوب از آزمون لایب نیتس استفاده می شود.

علامت لایب نیتسیک سری متناوب همگرا می شود اگر مقادیر مطلق عبارات آن کاهش یابد و جمله رایج به صفر گرایش پیدا کند، یعنی اگر دو شرط زیر برآورده شود:

1)
و 2)
.

یک دسته نسبتاً مهم از سری های همگرا توسط سری های به اصطلاح کاملاً همگرا تشکیل می شود. علاوه بر این، اعضای چنین سری هایی می توانند هر عدد واقعی باشند.

تعریف 9.5.ردیف گفته می شود که اگر همگرا شود کاملاً همگرا است
.

قضیه 9.4.اگر ردیف
همگرا می شود، پس از آن سری هم می شود نیز همگرا می شود.

این قضیه بیان می کند که اگر یک سری کاملاً همگرا باشد، آنگاه به سادگی همگرا می شود.

لازم به ذکر است که:

1) برای سری علامت ثابت، مفاهیم همگرایی و همگرایی مطلق منطبق هستند.

2) یک سری اگر همگرا باشد و سری همگرا باشد مشروط نامیده می شود
واگرا می شود.

اجازه دهید آزمون های دالامبر و کوشی را برای سری های متناوب دلخواه در نظر بگیریم.

علامت دالامبراگر وجود دارد
، سپس هنگامی که
ردیف کاملاً همگرا می شود که
سریال زمانی واگرا خواهد شد
علامت سوال همگرایی سریال را حل نمی کند.

مشکل 9.7.همگرایی سریال را بررسی کنید

در اینجا هر دو ترم مثبت سریال دو ترم منفی به دنبال دارد. برای بررسی همگرایی چنین سری هایی از آزمون دالامبر استفاده می کنیم.

.

سری اصلی با استفاده از معیار D'Alembert همگرا می شوند.

مشکل 9.8.سری را برای همگرایی مطلق بررسی کنید

اینجا
. برای چنین سری شرایط زیر وجود دارد:

آ)

ب)
. در نتیجه، سری اصلی مطابق با معیار لایب نیتس همگرا می شود.

سری داده شده را برای همگرایی مطلق بررسی می کنیم. برای این کار، بیایید یک سری ایجاد کنیم
از مقادیر مطلق:

چنین سری یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است که همیشه همگرا می شود. بنابراین، سری اصلی کاملاً همگرا می شوند.

مشکل 9.9. همگرایی سریال را بررسی کنید

اینجا
، بنابراین سری واگرا است، زیرا شرط لازم برای همگرایی برآورده نمی شود.

مبحث 9.2. سری کاربردی

اجازه دهید دنباله توابع زیر داده شود
، یعنی

که بر روی مجموعه خاصی تعریف می شود. اگر عبارات چنین دنباله ای با علامت بعلاوه متصل شوند، عبارت را دریافت می کنیم

یا
. چنین عباراتی سری تابعی و تابع نامیده می شوند
اصطلاح رایج سری نامیده می شود.

مجموع جزئی سریال
توابع فرم نامیده می شوند

محدوده عملکردی
همگرا در نامیده می شود
یا در نقطه ( ، اگر دنباله ای از مجموع جزئی آن در این نقطه همگرا شود:

به عبارت دیگر می توان به این نکته اشاره کرد که سری عملکردی
همگرا می شود در
، اگر سری اعداد همگرا شوند
.

محدودیت توالی
، اجازه دهید آن را با علامت گذاری کنیم
، مجموع سری نامیده می شود
در نقطه .

تعریف 9.6.مجموعه ای از تمام مقادیر ، که مجموعه برای آن همگرا می شود
، منطقه همگرایی این سری نامیده می شود.

اجازه دهید
سپس در بخش
در بخش مورد نظر در این مورد، توجه داشته باشید که تابع
به یک سری در بخش گسترش می یابد
.

همانطور که نشان داده شد، همگرایی یک سری عملکردی در بازه
یعنی برای هر ارزشی بخش
سری اعداد مربوطه همگرا می شود. در این راستا برای بررسی همگرایی سری های تابعی می توان از نشانه های همگرایی سری های عددی استفاده کرد.

مشکل 9.10.ناحیه همگرایی سری را پیدا کنید

این سری را می توان به صورت فشرده به صورت زیر نمایش داد

.

این سریال برای همه همگرا است
. در واقع، برای همه
مجموع سریال است (مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش). بنابراین، در فاصله زمانی
سری اصلی تابع را تعریف می کند

سری شماره

اگر در بین اعضای آن اعداد مثبت و منفی وجود داشته باشد متناوب نامیده می شود.

یک سری اعداد متناوب نامیده می شود که هر دو جمله مجاور دارای علائم متضاد باشند.

کجا برای همه (یعنی سریالی که عبارات مثبت و منفی آن به نوبه خود به دنبال یکدیگر می آیند). مثلا،

برای سری هایی با علائم متناوب، نشانه کافی از همگرایی وجود دارد (که در سال 1714 توسط لایب نیتس در نامه ای به آی. برنولی ایجاد شد).

علامت لایب نیتس همگرایی مطلق و مشروط سری

قضیه (آزمون لایب نیتس).

یک سری متناوب همگرا می شود اگر:

دنباله مقادیر مطلق عبارات سری به طور یکنواخت کاهش می یابد، یعنی. ;

اصطلاح کلی سری به صفر میل دارد:.

در این حالت، مجموع S سری نابرابری ها را برآورده می کند

یادداشت.

مطالعه یک سری متناوب از فرم

(با جمله اول منفی) با ضرب تمام عبارت های آن در مطالعه یک سری کاهش می یابد.

سری هایی که شرایط قضیه لایب نیتس برای آنها برآورده می شود سری لایب نیتس (یا سری لایب نیتس) نامیده می شوند.

این رابطه به ما امکان می دهد تا یک تخمین ساده و راحت از خطای که هنگام جایگزینی مجموع S یک سری معین با مجموع جزئی آن انجام می دهیم، به دست آوریم.

سری رد شده (باقیمانده) نیز یک سری متناوب است که مجموع آن مدول کمتری نسبت به عضو اول این سری است، یعنی خطا از مدول اولین عبارت حذف شده کمتر است.

مثال. تقریباً مجموع سری را محاسبه کنید.

راه حل: این سری از نوع لایب نیتس می باشد. آن متناسب با. می توانید بنویسید:

گرفتن پنج عضو، یعنی. قابل تعویض

بیایید یک اشتباه کوچکتر مرتکب شویم

چگونه بنابراین،.

برای سری های متناوب، معیار کلی کافی برای همگرایی وجود دارد.

قضیه. بگذارید یک سری متناوب داده شود

اگر سری همگرا شود

از ماژول های عبارات یک سری معین تشکیل شده است، سپس خود سری متناوب همگرا می شود.

آزمون همگرایی لایب نیتس برای سری های متناوب نشانه ها به عنوان یک معیار کافی برای همگرایی سری های متناوب علائم عمل می کند.

یک سری متناوب کاملاً همگرا نامیده می شود اگر سری متشکل از مقادیر مطلق اعضای آن همگرا شود، یعنی. هر سری کاملاً همگرا همگرا هستند.

اگر یک سری متناوب همگرا شود، اما یک سری متشکل از مقادیر مطلق اعضای آن واگرا شود، این سری به طور مشروط (غیر مطلق) همگرا نامیده می شود.

تمرینات

سری متناوب را برای همگرایی (مطلق یا مشروط) بررسی کنید:

بنابراین، با توجه به معیار لایب نیتس، مجموعه همگرا می شود. بیایید دریابیم که آیا این مجموعه به طور مطلق یا مشروط همگرا می شود.

سری متشکل از مقادیر مطلق یک سری معین یک سری هارمونیک است که واگرا می شود. بنابراین، این سری به صورت مشروط همگرا می شود.

شرایط این سری به طور یکنواخت در مقدار مطلق کاهش می یابد:

این سری از هم جدا می شود زیرا آزمون لایب نیتس برقرار نیست.

با استفاده از آزمون لایب نیتس به دست می آوریم

آن ها سری همگرا می شود

این یک سری هندسی از فرم Where است که همگرا می شود. بنابراین، این مجموعه به طور مطلق همگرا می شود.

با استفاده از آزمون لایب نیتس داریم

آن ها سری همگرا می شود

بیایید مجموعه ای را در نظر بگیریم که از مقادیر مطلق عبارات این مجموعه تشکیل شده است:

این یک سری هارمونیک تعمیم یافته است که واگرا می شود زیرا. بنابراین، این سری به صورت مشروط همگرا می شود.

دوره همگرایی سری متناوب

ردیف های متناوب علامت لایب نیتس
همگرایی مطلق و مشروط

برای درک مثال های این درس، باید درک خوبی از سری اعداد مثبت داشته باشید: بفهمید یک سری چیست، علامت لازم برای همگرایی یک سری را بدانید، بتوانید تست های مقایسه ای را اعمال کنید، تست دالامبر. ، آزمون کوشی. با مطالعه مداوم مقالات می توان موضوع را تقریباً از ابتدا مطرح کرد ردیف هایی برای آدمک هاو علامت دالامبر نشانه های کوشی. به طور منطقی، این درس سومین درس متوالی است و به شما امکان می دهد نه تنها ردیف های متناوب را درک کنید، بلکه مطالبی را که قبلاً پوشش داده شده را نیز ادغام کنید! تازگی کمی وجود خواهد داشت و تسلط بر ردیف های متناوب دشوار نخواهد بود. همه چیز ساده و در دسترس است.

سریال متناوب چیست؟این از خود نام واضح یا تقریباً واضح است. فقط یک مثال ساده

بیایید به این سریال نگاه کنیم و آن را با جزئیات بیشتر توصیف کنیم:

و حالا یک نظر قاتل وجود خواهد داشت. اعضای یک سری متناوب دارای علائم متناوب هستند: بعلاوه، منهای، بعلاوه، منهای، مثبت، منفی و غیره. تا بی نهایت.

تراز یک ضریب فراهم می کند: اگر زوج باشد، یک علامت مثبت وجود خواهد داشت، اگر فرد باشد، یک علامت منفی وجود خواهد داشت (همانطور که از درس به یاد دارید در مورد دنباله های اعداد، به این چیز "چراغ چشمک زن" می گویند). بنابراین، یک سری متناوب با منهای یک به درجه "en" "شناسایی" می شود.

در مثال های عملی، تناوب اصطلاحات سری را می توان نه تنها توسط ضریب، بلکه توسط خواهر و برادرهای آن نیز ارائه کرد: , , , …. مثلا:

دام «فریب ها» است: , , و غیره. - چنین ضرب کننده هایی تغییر علامت را ارائه ندهید. کاملاً واضح است که برای هر طبیعی: , , . ردیف هایی با فریب ها نه تنها به دانش آموزان با استعداد خاص لغزش می یابد، بلکه هر از گاهی "به خودی خود" در طول راه حل ایجاد می شوند. سری کاربردی.

چگونه یک سری متناوب را برای همگرایی بررسی کنیم؟از آزمون لایب نیتس استفاده کنید. من نمی خواهم در مورد غول فکری آلمانی گوتفرید ویلهلم لایبنیتس چیزی بگویم، زیرا او علاوه بر آثار ریاضی، چندین جلد در مورد فلسفه نیز نوشت. برای مغز خطرناک است.

آزمون لایب نیتس: اگر اعضای یک سری متناوب یکنواختمدول کاهش می یابد، سپس سری همگرا می شود.

یا در دو نکته:

1) سریال متناوب است.

2) شرایط سری کاهش مدول:، و کاهش یکنواخت.

اگر این شرایط برآورده شود، این سری همگرا می شوند.

اطلاعات مختصردر مورد ماژول در دفترچه راهنما آورده شده است فرمول های داغ برای درس ریاضی مدرسه، اما برای راحتی یک بار دیگر:

"modulo" به چه معناست؟ ماژول، همانطور که از مدرسه به یاد داریم، علامت منفی را "می خورد". بیایید به ردیف برگردیم . تمام علائم را با یک پاک کن ذهنی پاک کنید و بیایید به اعداد نگاه کنیم. ما آن را خواهیم دید هر بعدیعضو سریال کمترنسبت به قبلی بنابراین، عبارات زیر به همین معنی است:

- اعضای سریال بدون توجه به علامتدر حال کاهش هستند.
- اعضای سریال کاهش می یابد مدول.
- اعضای سریال کاهش می یابد توسط قدر مطلق.
– مدولعبارت رایج سری به صفر میل می کند:

// پایان کمک

حالا بیایید کمی در مورد یکنواختی صحبت کنیم. یکنواختی قوام خسته کننده است.

اعضای سریال کاملا یکنواختکاهش مدول اگر هر عضو بعدی سری باشد مدولکمتر از قبلی: . برای یک ردیف یکنواختی شدید کاهش برآورده شده است؛ می توان آن را با جزئیات شرح داد:

یا می توان به طور خلاصه بگوییم: هر یک از اعضای بعدی مجموعه مدولکمتر از قبلی: .

اعضای سریال کاملا یکنواخت نیستاگر هر عضو زیر از مدول سری بزرگتر از قبلی نباشد، مدول کاهش می یابد: . یک سری با فاکتوریل را در نظر بگیرید: در اینجا یکنواختی ضعیف وجود دارد، زیرا دو عبارت اول سری از نظر مدول یکسان هستند. یعنی هر کدام از اعضای بعدی سریال مدولنه بیشتر از قبلی: .

تحت شرایط قضیه لایب نیتس، یکنواختی کاهشی باید برآورده شود (مهم نیست که سخت باشد یا غیر دقیق). علاوه بر این، اعضای سریال می توانند حتی برای مدتی مدول افزایش می یابد، اما "دم" سریال لزوما باید به طور یکنواخت در حال کاهش باشد.

نیازی به ترس از آنچه انباشته ام نیست، مثال های عملی همه چیز را در جای خود قرار می دهد:

مثال 1

اصطلاح رایج این سری شامل فاکتور است، و این یک ایده طبیعی را برای بررسی اینکه آیا شرایط آزمون لایب‌نیتس برآورده می‌شود یا خیر را تحریک می‌کند:

1) بررسی ردیف برای تناوب. معمولاً در این مرحله مجموعه تصمیم به طور مفصل توضیح داده می شود و حکم "سریال متناوب است" را صادر کنید.

2) آیا شرایط سری در قدر مطلق کاهش می یابد؟ در اینجا شما باید حد را حل کنید، که اغلب بسیار ساده است.

- شرایط سری در مدول کاهش نمی یابد و این به طور خودکار نشان دهنده واگرایی آن است - به این دلیل که حد وجود ندارد *، یعنی ملاک لازم برای همگرایی سریال برآورده نشده است.

مثال 9

سری را برای همگرایی بررسی کنید

مثال 10

سری را برای همگرایی بررسی کنید

پس از مطالعه با کیفیت بالای سری‌های عددی مثبت و متناوب، با وجدانی راحت، می‌توانید به سراغ سری‌های عملکردی بروید که از یکنواختی و جذابیت کمتری ندارند.

تا به حال فقط سریال هایی را مطالعه کرده ایم که اصطلاحات آنها همه مثبت بوده است. اکنون به بررسی مجموعه‌هایی می‌پردازیم که شامل عبارات مثبت و منفی هستند. به چنین سری هایی سری های متناوب می گویند.

به عنوان نمونه ای از یک سریال متناوب، سریال را ارائه می دهیم

مطالعه سری های متناوب را با یک مورد خاص آغاز می کنیم، به اصطلاح سری متناوب، یعنی سری هایی که در آن هر جمله مثبت یک منفی و هر جمله منفی یک مثبت دنبال می شود.

با نشان دادن - مقادیر مطلق عبارات سری و با فرض مثبت بودن جمله اول، سری متناوب را به صورت زیر می نویسیم:

برای سری نشانه های متناوب، معیار کافی برای همگرایی لایب نیتس وجود دارد.

علامت لایب نیتس اگر در سری متناوب (34) مقادیر مطلق عبارتها کاهش یابد:

و جمله مشترک سری به صفر میل می کند: ، سپس سری همگرا می شود و مجموع آن از جمله اول سری تجاوز نمی کند.

اثبات مجموع جزئی تعداد زوج از جمله های سری را در نظر بگیرید

بیایید اعضا را به صورت جفت گروه بندی کنیم:

از آنجایی که طبق شرط، مقادیر مطلق عبارت‌های سری کاهش می‌یابد، پس تمام تفاوت‌های داخل پرانتز مثبت است و بنابراین، مجموع مثبت است و با افزایش آن افزایش می‌یابد.

اجازه دهید اکنون بنویسیم و اصطلاحات را به روش دیگری گروه بندی کنیم:

مجموع در پرانتز نیز مثبت خواهد بود. بنابراین، برای هر ارزش . بنابراین، دنباله مجموع حتی جزئی با افزایش می یابد، در حالی که محدود باقی می ماند. بنابراین حدی دارد

علاوه بر این، از آنجایی که واضح است که اکنون مجموع تعداد فرد عبارت را در نظر می گیریم:

وقتی داریم

از آنجایی که به شرط و بنابراین، .

بنابراین، مجموع جزئی هر دو اعداد زوج و فرد دارای حد مشترک S هستند. این بدان معنی است که به طور کلی، یعنی سری همگرا می شوند. علاوه بر این، همانطور که از اثبات پیداست، مجموع سری S از جمله اول سری تجاوز نمی کند.

مثال 1. بررسی کنید که آیا یک سری همگرا است یا واگرا

راه حل. این سری شرایط آزمون لایب نیتس را برآورده می کند:

بنابراین، مجموعه همگرا می شود.

اجازه دهید اکنون به بررسی حالت کلی یک سری متناوب بپردازیم. ما این را در سریال فرض خواهیم کرد

اعداد می توانند مثبت یا منفی باشند.

برای چنین سری هایی، معیار کافی زیر برای همگرایی یک سری متناوب وجود دارد.

قضیه. اگر برای یک سری متناوب

یک سری متشکل از مقادیر مطلق اصطلاحات آن همگرا می شود

سپس این سری متناوب نیز همگرا می شود.

اثبات اجازه دهید یک سری کمکی متشکل از اعضای سری (37) و (38) را در نظر بگیریم:

بنابراین، عبارت های سری (39) یا برابر با عبارت های سری همگرا (38) هستند یا کمتر از آنها. بنابراین، سری (39) بر اساس معیار مقایسه همگرا می شوند (به بند 5، قضیه 1 و پاورقی صفحه 501 مراجعه کنید).

با ضرب تمام عبارات سری همگرا (38) سری همگرا را بدست می آوریم

(به بند 3، قضیه 1 مراجعه کنید). اکنون سری‌ای را در نظر می‌گیریم که تفاوت سری همگرا (39) و (40) است.

این سری بر اساس قضیه 2، بند 3 همگرا می شود.

اما سری (37) از آخرین سری با ضرب تمام عبارات آن در 2 به دست می آید:

در نتیجه، سری (37) نیز همگرا می شوند (بخش 3، قضیه 1).

مثال 2. سری متناوب (33) را برای همگرایی بررسی کنید

راه حل. اجازه دهید یک سری متشکل از مقادیر مطلق شرایط این مجموعه را در نظر بگیریم

این سری مانند یک سری هارمونیک تعمیم یافته با توان همگرا می شود. در نتیجه، بر اساس معیار اثبات شده، این سری (33) نیز همگرا می شود.

این ویژگی کافی است، اما ضروری نیست. این بدان معنی است که سری های متناوب وجود دارند که همگرا می شوند، در حالی که سری های تشکیل شده از مقادیر مطلق عبارت های آنها واگرا می شوند.

در واقع، سریال را در نظر بگیرید

که آشکارا بر اساس معیار لایب نیتس همگرا می شود. در ضمن یک عدد

متشکل از مقادیر مطلق عبارات یک سری معین، هارمونیک و در نتیجه واگرا است.

اگرچه سری های (33) و (42) که در بالا مورد بحث قرار گرفت، هر دو همگرا هستند، ماهیت همگرایی آنها متفاوت است.

سری (33) به طور همزمان با سری (41) که از مقادیر مطلق اعضای آن تشکیل شده است، همگرا می شود، در حالی که سری (43) که از مقادیر مطلق سری همگرا (42) تشکیل شده است، واگرا می شود.

در این راستا تعاریف زیر را معرفی می کنیم.

تعریف. یک سری متناوب کاملاً همگرا است اگر یک سری متشکل از مقادیر مطلق عبارت های آن همگرا شود.

بر اساس یک معیار کافی برای همگرایی یک سری متناوب، هر سری کاملاً همگرا همگرا خواهد بود.

تعریف. یک سری متناوب اگر همگرا باشد غیر مطلقا همگرا نامیده می شود، اما سری متشکل از مقادیر مطلق عبارت های آن واگرا می شود.

با بازگشت به مثال‌هایی که در بالا بحث شد، می‌توان گفت که سری (33) کاملاً همگرا است و سری ( مطلقاً همگرا نیست.